Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

216 21 Wellengleichung
und addieren und subtrahieren wir dies Ergebnis zur ersten Gleichung, so ergibt sich
g(x) = 1 ∫
( x
χ(x) + dy ψ(y) + g(0) − f(0) ) ,
2 0
f(x) = 1 ∫
( x
χ(x) − dy ψ(y) − g(0) + f(0) ) .
2 0
(21.8)
Drehen wir noch mit − ∫ x
= ∫ 0
die Integrationsgrenzen bei f(x) um und setzen wir in
0 x
(21.5) ein, so erhalten wir die durch die Anfangswerte dargestellte Lösung
u(t, x) = 1 ∫
( x+t
χ(x + t) + χ(x − t) + dy ψ(y) ) . (21.9)
2
Die Lösung existiert, ist durch die Anfangswerte eindeutig gegeben und hängt stetig von
den Anfangswerten ab. Das Anfangswertproblem der Wellengleichung ist in diesem Sinn
sachgemäß.
Die Lösung u hängt zur Zeit t am Ort x nur von den Anfangswerten an Orten y ab,
für die |x − y| ≤ t ist. Ändert man die Anfangswerte in einem Bereich B ⊂ R, so wirkt
sich später diese Änderung nur auf die Lösung im Vorwärtslichtkegel von B aus. Das
sind die Punkte (t, x) in der zweidimensionalen Raumzeit, für die ein Punkt y ∈ B mit
|x − y| ≤ t existiert.
Dispersion
Eine lineare, homogene, partielle Differentialgleichung der Ordnung l für eine Funktion u
(
Pl (∂ 0 , ∂ 1 . . .∂ d ) + P l−1 (∂ 0 , ∂ 1 . . .∂ d ) + . . . + P 0
)
u(x) = 0 , (21.10)
x−t
wobei P i homogene Polynome vom Grad i bezeichne und ∂ m die partiellen Ableitungen
nach den Variablen x m , schränkt normalerweise die Form f von ebenen Wellen
u(x) = f(k 0 x 0 + k 1 x 1 + . . . + k d x d ) (21.11)
ein, die als Lösungen auftreten können. Mit der Notation
für die n-fache Ableitung von f lautet die Gleichung
f (n) (y) := dn
dynf(y) (21.12)
P l (k 0 , k 1 . . .k d ) f (l) (k ·x) + P l−1 (k 0 , k 1 . . .k d ) f (l−1) (k ·x) + . . .P 0 f(k ·x) = 0 . (21.13)
Dies ist, wenn nicht für spezielle k alle P i (k) verschwinden, für jedes k eine gewöhnliche,
lineare Differentialgleichung für die Form f der ebenen Welle. Beispielsweise hat die
Klein-Gordon-Gleichung
( + m 2 ) u = 0 , (21.14)