Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

21 Wellengleichung
Wellengleichung in zwei Dimensionen
Bei der Wellengleichung in einer Raum- und einer Zeitdimension
( ∂ 2
∂t 2 − ∂2
∂x 2 )
u(t, x) = 0 (21.1)
zerfällt der Wellenoperator, ebenso wie a 2 − b 2 = (a − b) (a + b) faktorisiert,
(2) = ∂2
∂t − ∂2
2 ∂x = ( ∂
2 ∂t − ∂ )( ∂
∂x ∂t + ∂ )
. (21.2)
∂x
Schreiben wir die Funktion u von t und x als Funktion h von t + = t+x und t − = t−x,
so ergibt sich für die Ableitungen
u(t, x) = h(t + , t − ) , ∂ t u = (∂ + + ∂ − )h , ∂ x u = (∂ + − ∂ − )h , (21.3)
( ∂
∂t + ∂ ) ( ∂
u = 2∂+ h ,
∂x
∂t − ∂ )
u = 2∂− h , (2) u = 4∂ + ∂ − h . (21.4)
∂x
Die Wellengleichung ∂ + ∂ − h = 0 besagt, daß ∂ − h nicht von t + abhängt, ∂ − h = F(t − ) ,
was wiederum besagt, daß h bis auf eine Funktion g von t + , die beim Differenzieren nach
t − wegfällt, eine Funktion f von t − ist. Die allgemeine Lösung u(t, x) der Wellengleichung
in einer Raum- und einer Zeitdimension ist daher von der Form
u(t, x) = f(x − t) + g(x + t) . (21.5)
Die Lösung u(t, x) = f(x−t)+g(x+t) setzt sich aus einem Rechtsläufer f(x−t) und
einem Linksläufer g(x + t) zusammen, die mit Lichtgeschwindigkeit und unveränderter
Form nach rechts und nach links laufen: zur Zeit t+δt hat f am Ort x+δx mit δx = v δt ,
v = 1, denselben Wert wie bei (t, x); ebenso hat g bei (t + δt, x + δx) mit δx = v δt ,
v = −1, denselben Wert wie bei (t, x) .
Die Lösung u wird durch ihre Anfangswerte χ und ψ zur Zeit t = 0,
u(0, x) = f(x) + g(x) = χ(x) , (∂ t u) |(0,x) = −f ′ (x) + g ′ (x) = ψ(x) , (21.6)
eindeutig festgelegt. Integrieren wir nämlich die zweite Gleichung von 0 bis x
∫ x
dy ψ(y) = −f(x) + f(0) + g(x) − g(0) (21.7)
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