Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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daß die Fouriertransformation das Skalarprodukt im Hilbertraum invariant läßt. Lineare,
invertierbare Selbstabbildungen eines Hilbertraumes, die wie die Fouriertransformation
das Skalarprodukt invariant lassen, nennt man unitär.
In der Literatur finden sich die umständlich zu schreibenden Faktoren 1/ √ 2π auch
anders aufgeteilt: ein Faktor 1/2π in der Fourierdarstellung der Funktion f durch ihre
Amplitude ˜f und ein Faktor 1 bei der Rücktransformation, die die Amplitude ˜f durch f
angibt. Wichtig ist, daß bei der Fouriertransformation von Funktionen mehrerer Argumente
für jede Integration bei Hin- und Rücktransformation insgesamt ein Faktor 2π
für jede Integrationsvariable auftaucht. Die Fourierdarstellung und die Fouriertransformation
von Funktionen des Ortsraumes R 3 beispielsweise lauten
g(⃗x) = 1
√
2π
3
∫
d 3 k e i ⃗k·⃗x ˜g(⃗k) , ˜g(⃗k) = 1
√
2π
3
∫
d 3 k e −i ⃗k·⃗x g(⃗x) . (20.71)
Die Ableitung einer Funktion f hat eine mit i k multiplizierte Amplitude,
d
dx f(x) = √ 1 ∫
dk ( d
2π dx ei k x) 1 ˜f(k) = √
∫dk e ( i k x i k ˜f(k) ) ,
2π
˜df
dx (k) = i k ˜f(k) . (20.72)
Insbesondere ist die Fouriertransformierte einer Linearkombination von Ableitungen,
wie sie in linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten auftreten, ein
Polynom im Argument k mal der Fouriertransformierten der gesuchten Funktion. Linear
inhomogene Differentialgleichungen für f sind algebraische Gleichungen für ˜f, die
man nach ˜f auflösen kann. Kann man das Integral, das f durch seine Fourieramplitude
˜f darstellt, explizit auswerten, so hat man die Differentialgleichung durch Integrieren
gelöst.
Die um a verschobene Funktion T a f hat definitionsgemäß am verschobenen Ort x + a
den Funktionswert, den f am Urbild x hat,
(
Ta f ) (x) = f(x − a) . (20.73)
Aus der Fourierdarstellung lesen wir ab, daß die Translation bei der Fourieramplitude
eine Multiplikation mit e −i ka bewirkt,
(
Ta f ) (x) = f(x − a) = √ 1 ∫
dk e i k(x−a) 1
˜f(k) = √
∫dk e i k x( )
e −i ka ˜f(k) ,
2π 2π
˜T a f(k) = e −i k a ˜f(k) . (20.74)
Für die verschobene δ-Funktion (T y δ)(x) = δ(x − y) heißt dies (˜Ty δ ) (k) = e −i k y / √ 2π .
Auf gleiche Art ist definiert, daß bei einer Streckung um einen Faktor c, c ≠ 0, die
x auf c x abbildet, die gestreckte Funktion D c f am gestreckten Ort den Wert von f am
Urbild hat,
(
Dc f ) (x) = f( x c ) . (20.75)