Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

210 20 Fouriertransformation
Die Fouriertransformation F ist eine lineare Abbildung von Funktionen f auf ihre
Amplituden ˜f = F f, Sind g und h quadratintegrable Funktionen und a und b komplexe
Zahlen, dann gilt für die Linearkombination
F(a g + b h) = a F(g) + b F(h) . (20.64)
Bis auf ein Vorzeichen sind die Fourierdarstellung der Funktion f durch ihre Amplitude
˜f und der Amplitude ˜f durch die Funktion f gleich (20.47). Bezeichnen wir als
Paritätstransformation Π die Abbildung, die jede Funktion f auf die Funktion des gespiegelten
Argument abbildet,
(Πf)(x) = f(−x) , (20.65)
so besagt (20.50), daß die Fouriertransformierte der Fouriertransformierten die Paritätstransformierte
ist,
Πf = F(F(f)) . (20.66)
Da jede Funktion durch zweifache Paritätstransformation in sich übergeht, Π 2 = 1,
führt vierfache Fouriertransformation zur ursprünglichen Funktion zurück. Als lineare
Abbildung betrachtet, kann die Fouriertransformation folglich nur Eigenwerte λ mit
λ 4 = 1, also λ ∈ {1, i, −1, −i}, haben.
Jede Funktion f kann mit diesen Eigenwerten durch Fouriertransformation in Anteile
zerlegt werden,
f λ = (λ 4 + λ 3 F + λ 2 F 2 + λF 3 ) 1 4 f = 1 4
(
1 + λ 2 Π )( 1 + λ 3 F ) f , f = ∑ λ
f λ , (20.67)
die Eigenfunktionen der Fouriertransformation sind, Ff λ = λf λ .
Als Distribution aufgefaßt wirkt gemäß (20.51) das Integral ∫ dk e i k (x−y) /(2π) auf
Testfunktionen wie die δ-Funktion (18.34)
1
2π
∫
dk e i k (x−y) = δ(x − y) . (20.68)
Aus der Fourierdarstellung der δ-Funktion liest man ihre Fouriertransformierte ab,
δ(x) = √ 1 ∫
dk e i kx (Fδ)(k) , (Fδ)(k) = √ 1 . (20.69)
2π 2π
Die δ-Funktion enthält alle Frequenzen mit gleicher Amplitude 1/ √ 2π.
Verwenden wir im Skalarprodukt zweier quadratintegrabler Funktionen f und g ihre
Fourierdarstellung, so zeigt sich, wenn wir die Integrationsreihenfolge vertauschen und
die Fourierdarstellung der δ-Funktion verwenden,
∫
(f, g) = dxf ∗ (x) g(x) = 1 ∫ ∫ ∫
dx dk dk ′ e −i kx
2π
˜f∗ (k) e i k′ x ˜g(k ′ )
∫ ∫
= dk dk ( ∫
′ 1
dx e ) i(k′ −k) x
2π
˜f∗ (k) ˜g(k ′ )
(20.70)
∫ ∫
∫
= dk dk ′ δ(k ′ − k) ˜f ∗ (k) ˜g(k ′ ) = dk ˜f ∗ (k) ˜g(k) = (˜f, ˜g) ,