Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Hauptwertintegration um einen kleinen Halbkreis, der x = 0 in der oberen Halbebene
im Uhrzeigersinn umläuft, und um den Halbkreis Γ r (19.42) in der oberen Halbebene,
so verschwinden ∫ Γ r
dz e iz /z, weil der Integrand genügend schnell abfällt, und das
gesamte Umlaufintegral, weil keine Residuen umlaufen werden. Es ist also das Hauptwertintegral
dem Integral über den im Gegenzeigersinn durchlaufenen kleinen Halbkreis
über 1/z + (e iz − 1)/z gleich. Der Beitrag des zweiten Terms verschwindet mit kleiner
werdendem Radius des kleinen Halbkreises und das Integral über den ersten Term ergibt
π i. Wegen P. V. ∫ dx e i x /x = − P. V. ∫ dx e −i x /x ist daher ∫ ∫
dx (sin x)/x = π und
∞
dx (sin x)/x = π/2.
0
Auf gleiche Weise zeigt man, daß eine periodische Funktion g in jedem Punkt x durch
ihre Fourierreihe dargestellt wird, in dem |g(x + y) + g(x − y) − 2g(x)|/y eine im y-
Intervall [0, ȳ] integrierbare Funktion ist. Einfachheitshalber untersuchen wir Funktionen
mit Periodizitätslänge L = π . Setzen wir die Fourierkoeffizienten g n in die Fourierreihe
ein, so besagt (20.33) nach geeigneter Verschiebung der Integrationsvariablen
g(x) = 1 π lim
N∑
∫ π
2
N→∞
n=−N
− π 2
dy e 2iny g(x + y) (20.59)
Die Summe betrifft einen Abschnitt einer geometrischen Reihe mit q = e 2iy
N∑
n=−N
q n = q −N 2N
∑
n=0
q n = q
−N1
− q2N+1
1 − q
= q−(N+1 2 ) − q (N+1 2 )
q −1 2 − q 1 2
(20.60)
Also ist diese Summe
N∑
D N (y) =
n=−N
e 2iny = sin( (2N + 1) y )
sin(y)
. (20.61)
Sie heißt Dirichlet-Kern. Das Integral auf der rechten Seite von (20.59) ist also
I(x) = 1 ∫ π
π lim
2
dy sin( (2N + 1) y ) ( )
g(x + y) + g(x − y)
N→∞ sin(y)
0
(20.62)
Eine Funktion f(y)/y ist in [0, π ] genau dann integrabel, wenn dort f(y)/sin(y) integrabel
ist, denn die Differenz (1/y − 1/sin(y))f(y) ist in [0, π ] das Produkt einer
2
2
analytischen Funktion mit f. Nach dem Riemann-Lebesgue-Lemma (20.56) kann also in
Nenner sin(y) durch y ersetzt werden und im Zähler g(x + y) + g(x − y) durch 2 g(x) .
Denn die Unterschiede sind integrable Funktionen, die mit sin((2N+1)y) zerhackt werden.
Folglich ist
I(x) = 2 ∫ π
2
g(x) lim dy sin( (2N + 1) y )
= 2 ∫ (2N+1)
π
2
g(x) lim dz sin z
π N→∞
0 y π N→∞
0 z
= 2 ∫ ∞
π g(x) dz sin z
(20.63)
= g(x) .
0 z