Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

207
in den Punkten x, in denen die Funktion h x
h x (y) = 1 ∣
∣ f(x + y) + f(x − y) − 2f(x) (20.49)
y
im y-Intervall [0, ȳ] mit ȳ > 0 integrabel ist, 3 als Überlagerung von Schwingungen e i k x
mit der Amplitude ˜f(k) dar. Die Amplitude ˜f heißt die Fouriertransformierte von f. Sie
ist durch
˜f(k) = 1 √
2 π
∫dy e −i k y f(y) (20.50)
gegeben. Anders als bei der Fourierreihe, bei der nur ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz
auftreten, sind die Frequenzen k kontinuierlich.
Daß Funktionen f mit den angegebenen Eigenschaften eine Fourierdarstellung erlauben,
daß also
f(x) = 1 ∫ ∫
dk dy e i k (x−y) f(y) (20.51)
2π
gilt, braucht man nur für reelle Funktionen zu zeigen, denn komplexe Funktionen sind
komplexe Linearkombinationen reeller Funktionen. Für reelle Funktionen ist die rechte
Seite
I(x) = 1 ∫ ∞ ∫ ∞
dk dy cos(k y) (f(x + y) + f(x − y)) . (20.52)
π 0 0
Denn für reelle Funktionen verschwindet das k-Integral über den sin(k x)-Anteil von
e i k x , denn der Integrand ist eine ungerade Funktion von k. Zudem haben wir die Integrationsvariable
y um −x verschoben, für y < 0 die Integrationsvariable −y verwendet
und berücksichtigt, daß k und −k zum Integral gleich beitragen.
Wir zeigen, daß I(x) den Wert f(x) hat.
Bis auf einen Fehler, der kleiner als jede vorgegebene Schranke ǫ ist, ist I(x) gleich
dem Integral Iȳ(x), dessen y-Integration sich bis zu einem genügend großen ȳ erstreckt,
π |I(x) − Iȳ(x)| = lim
∫ ¯k
lim |
ŷ→∞
¯k→∞ 0
∫ŷ
lim |
¯k→∞ ŷ→∞ ȳ
∫ŷ
lim |
¯k→∞ ŷ→∞ ȳ
= lim
= lim
∫ŷ
dk
dy
dy cos(k y) (f(x + y) + f(x − y))|
ȳ
∫ ¯k
0
dy sin(¯ky)
y
dk cos(k y) (f(x + y) + f(x − y))|
(f(x + y) + f(x − y))|
(20.53)
≤ 1 ȳ
∫ ∞
dy |f(x)| < ǫ .
−∞
Dabei haben wir bei endlichen Integrationsgrenzen erlaubtermaßen die Integrationsrei-
3 Beispielsweise ist h x integrabel, falls f stetig differenzierbar ist.