Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Da die Fourierreihe Funktionen des Intervalls I L außerhalb periodisch fortsetzt, sieht
der Graph der Fourierreihe der Funktion g(x) = x wie die Zahnreihe einer Säge aus. Wir
berechnen allgemeiner die Fourierkoeffizienten der Potenzen g(x) = x l , l = 0, 1, 2 . . .,
g n =
∫ L
2
− L 2
dx √ 1 e −i 2π L n x x l = 1 ∫
(L 1 l+1
√ du e
L L 2) −i π n u u l . (20.35)
−1
Das verbleibende Integral hat für n = 0 den Wert
∫ 1
{ 2
du u l falls l gerade
=
l+1
−1
0 falls l ungerade
. (20.36)
Für n ≠ 0 betrachten wir ∫ 1
−1 du e−i π n u u l als den speziellen Wert k = π n von Integralen,
die durch Differentation aus dem Integral für l = 0 hervorgehen,
∫ 1
du e −iku u l = i l( ∫
d 1 l
du e
−1
dk) −i k u = i l( d ) l 1
−1 dk −i k e−i k u∣ ∣ u=1
= 2 il( d ) l sin k
u=−1
dk k .
(20.37)
Für l = 0 und k = π n ≠ 0 erhalten wir 2 sin(πn)/(πn) = 0. Es verschwinden
also alle Fourierkoeffizienten der konstanten Funktion g(x) = 1 bis auf g 0 = √ L , und
die Fourierreihe ist g(x) = 1. Das ist verständlich, denn g ist ein Vielfaches einer der
orthonormalen Funktionen, mit denen wir entwickeln.
Für die Sägezahnfunktion g(x) = x, also l = 1, verschwindet g 0 , die Fourierkoeffizienten
mit n ≠ 0 und die zugehörige Fourierreihe ist
g n = √ 1 (L) 2 (cos(π n) sin(π n) ) L√ (−1) n
2 i − = L i
L 2 π n (π n) 2 2 π n , (20.38)
x ∼ L ∞∑ (−1) n+1
sin( 2π n x) . (20.39)
π n L
n=1
Die Parsevalsche Gleichung (20.29) bestimmt die Summe der inversen Quadratzahlen
2 L 3 ∫ L
3 8 = 2
∞∑
dxx 2 = (|g n | 2 + |g −n | 2 ) = 2 L3 1 ∑ ∞
1
− L 4 π 2 n , 2 2 n=1
n=1
∞∑ 1
n = π2
2 6 . (20.40)
n=1
Für die Fourierkoeffizienten und die Fourierreihe von g(x) = x 2 im Intervall [− L, L]
2 2
erhalten wir
g 0 = √ 1 (L) 3 2
L 2 3 ,
n ≠ 0 : g n = √ 1 (L) 32 ( i
2
− sin k
L 2 k
− 2cosk + 2 sin k )
= 1 (L) 34 (−1) n
√
k 2 k 3 | k=πn L 2 (π n) , 2
x 2 ∼ L2
12 + L2
π 2
∞
∑
n=1
(−1) n
cos( 2π n x) . (20.41)
n 2 L