Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

204 20 Fouriertransformation
vollständig, weil man die Funktion f 0 nicht mit den verbleibenden Funktionen mit einem
Fehler nähern kann, der kleiner als 1 ist.
Ist ein orthonormales Funktionensystem f 1 , f 2 . . . im Raum von Testfunktionen vollständig,
so läßt sich jede Testfunktion t als Reihe
t(x) = ∑ ∫
f n (x) t n , t n = (f n , t) = dy f n (y) ∗ t(y) (20.30)
n
M
darstellen. Setzen wir die Koeffizienten für die Teilsumme der ersten N Summanden ein
und vertauschen wir die Summation mit der Integration, so erhalten wir für N gegen
unendlich
∫
t(x) =
Mdy ∑ f n (x) f ∗ n (y) t(y) , (20.31)
n
das heißt, für N gegen unendlich geht die Summe ∑ N
n=1 f n(x) f ∗ n (y) im Distributionensinn
gegen die δ-Funktion in M
Fourierreihe
x, y ∈ M :
∑
n
f n (x) f ∗ n (y) = δ(x − y) . (20.32)
Wir verschieben zunächst den Beweis, daß die Funktionen f n (x) = e i 2π L n x / √ L , n ∈ Z
(20.21), die Wellen mit Wellenlängen L/n oder die Schwingungen mit Frequenz n/L, im
Raum der stückweise stetig differenzierbaren Funktionen g des Intervalls I L = [− L, L]
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vollständig sind. Die zugehörige Reihe
g(x) ∼
∞∑
n=−∞
1
√
L
e i 2π L n x g n , g n = (f n , g) =
∫ L
2
− L 2
dx 1 √
L
e −i 2π L n x g(x) , (20.33)
die komplexe Fourierreihe von g , konvergiert bei periodischen, stetig differenzierbaren
Funktionen g gleichmäßig gegen g(x) . Die Koeffizienten g n sind die komplexen Amplituden
der Schwingungen mit Frequenzen n ν.
Das Zeichen ∼ steht für Gleichheit im Intervall I L = [− L, L ]. Außerhalb des Intervalls
setzt die Fourierreihe die Funktion periodisch fort, denn die Funktionen f n sind
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periodisch, f n (x + L) = f n (x).
In Kosinus und Sinus zerlegt, e i 2π L n x = cos( 2π n x) + i L sin(2π n x) , heißt die Reihe
L
reelle Fourierreihe,
g(x) ∼ g 0
√ + 1 ∑ ∞
(
√ (gn + g −n ) cos( 2π
L L L n x) + i (g n − g −n ) sin( 2π L n x))
n=1
= a ∞
0
2 + ∑( an cos( 2π L n x) + b n sin( 2π L n x)) , (20.34)
n=1
∫ L
2
− L 2
a n = 2 L
dx cos( 2π L
n x) g(x) , b
n = 2 L
dx sin( 2π L
n x) g(x) .
∫ L
2
− L 2