Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik
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10 1 Vektorräume Orthonormalbasis Ist das Skalarprodukt positiv definit, dann gibt es eine Orthonormalbasis ⃗e i (und viele andere mehr). Ihre Vektoren haben Einheitslänge und stehen aufeinander senkrecht, e i ·e j = δ ij . (1.47) Das hierbei auftretende Kronecker-Delta δ ij ist permutationssymmetrisch, δ ij = δ ji , und hat den Wert Eins oder Null, je nachdem, ob der Wert von i mit dem Wert von j übereinstimmt, { 1 falls i = j δ ij = , (1.48) 0 falls i ≠ j δ 11 = δ 22 = δ 33 = . . . = 1 , δ 12 = δ 21 = δ 13 = δ 31 = . . . = 0 . Nur in einer Orthonormalbasis stimmen die Komponenten jedes Vektors u mit denen des zugehörigen Dualvektors überein, Sie sind folglich die Skalarprodukte mit den Basisvektoren u i = δ ij u j = u i . (1.49) u i = u ·e i , u = e i (e i ·u) . (1.50) Die Doppelsumme g(u, v) = g ij u i v j , die das Skalarprodukt angibt, vereinfacht sich zur schon bekannten Einfachsumme g(u, v) = δ ij u i v j = u i v i (1.31), u ·v = u i v i . (1.51) Bisher bestand in unseren Gleichungen jedes Summationsindexpaar aus einem oberen und einem unteren Index. Jeder Index, der nicht zu einem Summationspaar gehörte, trat an jedem Term in gleicher Stellung auf. Bei Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis treten auch Summationsindexpaare gleicher Indexstellung auf, wie (1.51) zeigt. Indizes, die nicht paarweise auftreten, können an den verschiedenen Termen wie in u i = u i = δ ij u j oben oder unten vorkommen. Dreiecksungleichung Definiert man durch ⃗a ·⃗b = a i b i =: √ a j a j √ b k b k cosα den Winkel α zwischen ⃗a und ⃗b, so muß man zeigen, daß der so definierte Cosinus in jedem Fall zwischen −1 und 1 liegt. Dies gilt genau dann, wenn die Cauchy-Schwarz-Ungleichung |⃗a ·⃗b| 2 ≤ |⃗a| 2 |⃗b| 2 (1.52) gilt. Sie ist richtig für |⃗b| = 0. Für |⃗b| ≠ 0 und λ = −⃗a ·⃗b/|⃗b| 2 betrachtet man 0 ≤ |⃗a + λ⃗b| 2 |⃗b| 2 = (⃗a + λ⃗b) ·(⃗a + λ⃗b) |⃗b| 2 = λ 2 |⃗b| 4 + 2λ (⃗a ·⃗b) |⃗b| 2 + |⃗a| 2 |⃗b| 2 = (λ |⃗b| 2 + ⃗a ·⃗b) 2 + |⃗a| 2 |⃗b| 2 − (⃗a ·⃗b) 2 = |⃗a| 2 |⃗b| 2 − (⃗a ·⃗b) 2 (1.53) und ist fertig. Wegen |⃗a + ⃗b| 2 = ⃗a 2 + ⃗b 2 + 2⃗a ·⃗b ≤ ⃗a 2 + ⃗b 2 + 2|⃗a||⃗b| = (|⃗a| + |⃗b|) 2 folgt die Dreiecksungleichung, |⃗a +⃗b| 2 ≤ (|⃗a| + |⃗b|) 2 . Im Dreieck ist die Verbindung über Eck länger als die gerade Strecke.
11 Das Längenquadrat der Raumzeit In der Raumzeit definieren die Weltlinien von kräftefreien Teilchen und von Lichtpulsen Geraden. Dabei ist die Geschwindigkeit c von Licht im Vakuum unabhängig von der Geschwindigkeit der B B ′ ✻ Quelle. Es gibt nicht schnelleres oder langsameres t Licht. Licht überholt nicht Licht! [4] Die Weltlinien von Lichtpulsen in dieselbe Richtung schneiden sich demnach nicht: sie sind in Raumzeitdiagrammen parallel. E Licht Licht Michelsons und Morleys Messungen zeigen das x Relativitätsprinzip: Im Vakuum läßt sich, wenn ✲ man gravitative Effekte vernachlässigt, Ruhe nicht von gleichförmiger Bewegung unterscheiden. Abbildung 1.4: Beobachter mit auslaufenden Lichtstrahlen Insbesondere kann man nicht anhand der Geschwindigkeit des Lichts einen gleichförmig bewegten Beobachter von einem ruhenden Beobachter unterscheiden. Es gibt keinen nachweisbaren Äther, dessen Bestandteile ein Ruhsystem definierten. Ebenso gibt es keine meßbare Weltzeit, die Ereignissen an sich zukäme, sondern nur die Zeiten, die mitgeführte Uhren ihren Beobachtern anzeigen. Gibt man Länge einfach in Laufzeit von Licht an, so ist eine Sekunde die Länge 1 Sekunde = 299 792 458 Meter . (1.54) Geschwindigkeiten sind dann dimensionslos und c hat den natürlichen Wert c = 1. Meter pro Sekunde ist ein Zahlenfaktor wie Kilo oder Milli und bedeutet etwa 3,3 Nano Meter Sekunde = 1 299 792 458 , c = 299 792 458 Meter Sekunde = 1 . (1.55) Die Differenz von Sende- und Empfangszeit t + − t − = t hin + t her = 2 t Laufzeit ist die Zeit, die der Lichtpuls vom jeweiligen Beobachter zum Ereignis E hin und zurück braucht, also die doppelte Lichtlaufzeit und definitionsgemäß die doppelte Entfernung r B t t ′ B ′ + + vom Ereignis E zum Beobachter, t her E r = (t t t ′ + − t − )/2 . (1.56) r E Da es keine meßbare Weltzeit gibt, die t hin dem Ereignis E an sich zukäme, verwendet jeder Beobachter als Zeit t, zu der t − t ′ − ein Ereignis stattgefunden hat, den Mittelwert von Sende- und Empfangszeit, die Abbildung 1.5: relativ gleichzeitig seine eigene Uhr anzeigt, t = (t + + t − )/2 . (1.57)
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Das Längenquadrat <strong>der</strong> Raumzeit<br />
In <strong>der</strong> Raumzeit definieren die Weltlinien von kräftefreien Teilchen <strong>und</strong> von Lichtpulsen<br />
Geraden. Dabei ist die Geschwindigkeit c von Licht<br />
im Vakuum unabhängig von <strong>der</strong> Geschwindigkeit <strong>der</strong><br />
B B ′<br />
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Quelle. Es gibt nicht schnelleres o<strong>der</strong> langsameres t<br />
Licht. Licht überholt nicht Licht! [4]<br />
Die Weltlinien von Lichtpulsen in dieselbe Richtung<br />
schneiden sich demnach nicht: sie sind in Raumzeitdiagrammen<br />
parallel.<br />
E<br />
Licht Licht<br />
Michelsons <strong>und</strong> Morleys Messungen zeigen das<br />
x<br />
Relativitätsprinzip: Im Vakuum läßt sich, wenn<br />
✲<br />
man gravitative Effekte vernachlässigt, Ruhe nicht von<br />
gleichförmiger Bewegung unterscheiden.<br />
Abbildung 1.4: Beobachter mit<br />
auslaufenden Lichtstrahlen<br />
Insbeson<strong>der</strong>e kann man nicht anhand <strong>der</strong> Geschwindigkeit<br />
des Lichts einen gleichförmig bewegten Beobachter von einem ruhenden Beobachter<br />
unterscheiden. Es gibt keinen nachweisbaren Äther, dessen Bestandteile ein<br />
Ruhsystem definierten. Ebenso gibt es keine meßbare Weltzeit, die Ereignissen an sich<br />
<strong>zu</strong>käme, son<strong>der</strong>n nur die Zeiten, die mitgeführte Uhren ihren Beobachtern anzeigen.<br />
Gibt man Länge einfach in Laufzeit von Licht an, so ist eine Sek<strong>und</strong>e die Länge<br />
1 Sek<strong>und</strong>e = 299 792 458 Meter . (1.54)<br />
Geschwindigkeiten sind dann dimensionslos <strong>und</strong> c hat den natürlichen Wert c = 1. Meter<br />
pro Sek<strong>und</strong>e ist ein Zahlenfaktor wie Kilo o<strong>der</strong> Milli <strong>und</strong> bedeutet etwa 3,3 Nano<br />
Meter<br />
Sek<strong>und</strong>e = 1<br />
299 792 458<br />
, c = 299 792 458<br />
Meter<br />
Sek<strong>und</strong>e = 1 . (1.55)<br />
Die Differenz von Sende- <strong>und</strong> Empfangszeit t + − t − = t hin + t her = 2 t Laufzeit ist die<br />
Zeit, die <strong>der</strong> Lichtpuls vom jeweiligen Beobachter <strong>zu</strong>m Ereignis E hin <strong>und</strong> <strong>zu</strong>rück braucht,<br />
also die doppelte Lichtlaufzeit <strong>und</strong> definitionsgemäß<br />
die doppelte Entfernung r<br />
B<br />
t<br />
t ′ B ′<br />
+<br />
+<br />
vom Ereignis E <strong>zu</strong>m Beobachter,<br />
t her<br />
E<br />
r = (t<br />
t<br />
t ′<br />
+ − t − )/2 . (1.56)<br />
r E<br />
Da es keine meßbare Weltzeit gibt, die<br />
t hin<br />
dem Ereignis E an sich <strong>zu</strong>käme, verwendet<br />
je<strong>der</strong> Beobachter als Zeit t, <strong>zu</strong> <strong>der</strong><br />
t −<br />
t ′ −<br />
ein Ereignis stattgef<strong>und</strong>en hat, den Mittelwert<br />
von Sende- <strong>und</strong> Empfangszeit, die<br />
Abbildung 1.5: relativ gleichzeitig<br />
seine eigene Uhr anzeigt,<br />
t = (t + + t − )/2 . (1.57)
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