Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

20 Fouriertransformation
Skalarprodukt von Funktionen
Die Darstellung einer Funktion einer reellen Variablen durch ihre Taylorreihe (12.35)
ist gewöhnlich nur in einer kleinen Umgebung des Entwicklungspunktes nützlich. Oft
möchte man aber eine Funktion g im Großen und Ganzen in einem Bereich M durch
eine Summe
f 1 (x) g 1 + f 2 (x) g 2 + . . . = ∑ f n (x) g n (20.1)
n
von Standardfunktionen f 1 , f 2 . . . mit Zahlenkoeffizienten g 1 , g 2 . . . nähern. Die Funktionen
f n sollen bekannte, einfache Eigenschaften haben. Beispielsweise kann es sich
um die Potenzen f n (x) = x n , n = 0, 1, 2 . . . oder um trigonometrische Funktionen
f n (x) = e i n x = cosnx + i sin n x, n ∈ Z, handeln. Die Funktionen und Koeffizienten
können komplex sein.
Um die Frage beantworten zu können, mit welchen Koeffizienten g i bei gegebenen
Funktionen f i eine Funktion g am besten genähert wird, braucht man ein Maß für die
Güte der Näherung oder die Größe des Fehlers
δg(x) = g(x) − ∑ n
f n (x) g n . (20.2)
Beispielsweise verschwindet die Supremumsnorm des Fehlers
sup |δg(x)| , (20.3)
x∈M
wenn ∑ n f n g n überall in M mit g übereinstimmt. Weicht aber g von der Summe nur
in einer kleinen Untermenge von M ab, so berücksichtigt die Supremumsnorm nicht, daß
g in der Restmenge gut dargestellt ist.
Wenn wir die Größe des Fehlers, der in verschiedenen Teilen von M gemacht wird, als
Integral über M definieren, ∫
dxm(|δg(x)|) ρ(x) , (20.4)
M
wobei m eine für nicht negative Argumente streng monotone Funktion ist mit m(0) = 0
und wenn ρ eine nichtnegative Funktion ist, mit der man Fehler in unterschiedlichen
Teilen von M unterschiedlich gewichten kann, so ist diese Größe nicht negativ und verschwindet
nur, wenn δg höchstens in einer Menge mit verschwindendem Maß von Null
verschieden ist. 1
1 Verwirrenderweise kann aber bei einer Folge von Näherungen die Größe des Fehlers δg N mit N → ∞
gegen Null gehen, obwohl δg N in keinem Punkt konvergiert [1, Abschnitt 13-14].