Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

198 19 Komplex differenzierbare Funktionen
bei z 1 ist einfach der Faktor bei 1/(z − z 1 ), ausgewertet bei z = z 1 (19.35)
Res f(z) = 1 z 2 1
z=z 1 2 (z 1 − z 2 ) (z 1 − z 3 ) (z 1 − z 4 ) = 1 1
2 z 1 (1 − i) (1 + 1) (1 + i) = 1 . (19.47)
8 z 1
Ebenso ergibt sich das Residuum bei z 2
Res f(z) = 1 z 2 2
z=z 2 2 (z 2 − z 1 ) (z 2 − z 3 ) (z 2 − z 4 ) = 1 1
2 z 2 (1 + i) (1 − i) (1 + 1) = 1 (19.48)
8 z 2
Insgesamt folgt
∫ ∞
0
dx
√
x 2 2
x 4 + 1 = 2π i π
(1 − i − 1 − i) =
16 2 √ 2 . (19.49)
Ebenso läßt sich mit dem Residuensatz die Fouriertransformation von Funktionen
Q(x)
∫
dxQ(x) e ikx (19.50)
für k > 0 bestimmen, wenn Q(z) eine in der oberen Halbebene I(z) > 0 meromorphe
und auf der reellen Achse stetige Funktion ist, die für |z| → ∞ verschwindet, sodaß für
jedes vorgegebene ǫ > 0 ein R existiert, sodaß für alle größeren r und alle 0 ≤ λ ≤ π der
Betrag von Q kleiner als diese Schranke ist,
|Q(r e iλ )| < ǫ . (19.51)
Dies gilt beispielsweise bei rationalen Funktionen Q(z) = Z(z)/N(z), wenn das Nennerpolynom
N keine reelle Nullstelle hat und sein Grad größer ist als der Grad des
Zählerpolynoms Z.
Das Wegintegral über den Halbkreis (19.42) in der oberen Halbebene verschwindet für
r → ∞, wie die folgende Abschätzung zeigt
∫
∣ dz Q(z) e ikz∣ ∫ π
∣ ≤ dλ ∣ r i e iλ Q(r e iλ ) e i kr(cos λ+i sinλ)∣ ∫ π
2
∣ < 2 dλ ǫ r e −krsinλ .
Γ r 0
0
(19.52)
Dabei haben wir im letzten Schritt verwendet, daß der Sinus zwischen π/2 und π dieselben
Werte durchläuft wie zwischen 0 und π/2. Dort ist der Sinus größer als (2/π)λ,
also ist der Betrag des Integrals kleiner als jede vorgegebene Schranke ǫ ′ = π ǫ/k,
∫
∣ dz Q(z) e ik z∣ ∫ π
2
∣ < 2 dλ ǫ r e −2kr π λ = π
Γ r
2 k r 2 r ǫ ( −e −2r λ)∣ π ∣ λ= π 2
< π ǫ
λ=0
k = ǫ′ . (19.53)
0
Also ist (19.50) gleich dem Umlaufintegral um die obere Halbebene und nach dem Residuensatz
durch 2π i mal den Residuen in der oberen Halbebene gegeben,
∫
∑
k > 0 : dxQ(x) e ikx = 2π i Res Q(z) e ik z . (19.54)
z=z i
I(z i )>0
Durch Betrachtung des an der x-Achse gespiegelten Integrationsweges erhält man ebenso
für Q(z), die den entsprechenden Bedingungen in der unteren Halbebene genügen, 1
∫
∑
k > 0 : dxQ(x) e −ikx = −2π i Res Q(z) e −ikz . (19.55)
z=z i
I(z i )