Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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z −n mit n > 1, ungeladen sind. Das erklärt sich allerdings, wenn man bedenkt, daß
−q/z 2 sich als Grenzfall zweier entgegengesetzter, benachbarter Ladungen ergibt, also
wie ein Dipol ungeladen ist,
− q z 2 = lim
ǫ→0
1 ( q
ǫ z + ǫ − q )
. (19.39)
z
Als Anwendung des Residuensatzes werten wir reelle Integrale
∫ ∞
dxQ(x) (19.40)
−∞
in den Fällen aus, in denen die stetige reelle Funktion Q(x) der Wert einer komplexen
Funktion Q(z) ist, die in der oberen Halbebene I(z) ≥ 0 bis auf endlich viele Ausnahmepunkte
komplex differenzierbar ist und dort für große |z| schneller als 1/|z| abfällt,
sodaß für jede vorgegebene Schranke ǫ > 0 ein R existiert, sodaß für jedes größere r > R
und alle 0 ≤ λ ≤ π die Ungleichung
|r Q(r e iλ )| < ǫ (19.41)
gilt. Dies ist für rationale Funktionen Q(z) = Z(z)/N(z) der Fall, wenn der Grad des
Nennerpolynoms N um mindestens zwei größer als der des Zählers Z ist und N keine
reelle Nullstelle hat.
Das Wegintegral über den Halbkreis in der oberen Halbebene
Γ r : [0, π] → C , λ ↦→ z(λ) = r e i λ (19.42)
verschwindet mit r → ∞, denn für genügend große r ist sein Betrag kleiner als jede
vorgegebene Schranke ǫ ′ = π ǫ
∫
∣ dz Q(z) ∣ ∫
∣ π = dλ r i e iλ Q(r e iλ ) ∣ ∫ π ≤ dλ ∣ r i e iλ Q(r e iλ ) ∣ ∫ π < dλ ǫ = ǫ ′ . (19.43)
Γ r 0
0
0
Also ist das Integral (19.40) das Umlaufintegral um die obere Halbebene und nach dem
Residuensatz die Summe der umlaufenen Residuen
∑
dxQ(x) = 2π i Res Q(z) . (19.44)
z=z i
∫ ∞
−∞
z i : I(z i )>0
Beispielsweise muß man zur Berechnung des Integrals
∫ ∞
0
x 2
x 2
∫ ∞
dx
x 4 + 1 = −∞dx 1 2 x 4 + 1
(19.45)
die Nullstellen z 1 = e i π 4 =
1 √2 (1 + i) , z 2 = i z 1 , z 3 = −z 1 und z 4 = −i z 1 des Nenners
bestimmen. Die ersten beiden liegen in der oberen Halbebene und tragen zum Umlaufintegral
bei. Das Residuum von
f(z) = 1 2 (z − z 1 ) (z − z 2 ) (z − z 3 ) (z − z 4 )
z 2
(19.46)