Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

196 19 Komplex differenzierbare Funktionen
Der Koeffizient c −1 bei 1/(z−z i ) heißt das Residuum von f im Punkt z i . Wir bezeichnen
ihn mit
Res f(z) = c −1 . (19.33)
z=z i
Hat beispielsweise f in z 1 einen Pol der Ordnung k, f(z) = g(z)/(z− z 1 ) k , k > 0, wobei
g(z) = (z − z 1 ) k f(z) in z 1 komplex differenzierbar ist und durch die Potenzreihe
g(z) =
∞∑
n=0
dargestellt wird, dann hat f in z 1 das Residuum
Res
z=z 1
f(z) =
1 d n g
(z − z
n! dz n 1 ) n (19.34)
| z1
1 d k−1 g
. (19.35)
(k − 1)! dz k−1 | z1
Ist f in einem Gebiet G, das von einer Kurve Γ berandet wird, mit Ausnahme von endlich
vielen Punkten komplex differenzierbar und auf Γ stetig, dann ergibt das Umlaufintegral
über die im mathematisch positiven Drehsinn durchlaufene Kurve Γ die Summe der
Residuen mal 2π i,
∮
Γ ′ −C 1 C 1
f(z) = 2π i
z 1
Γ=∂Gdz ∑ Res f(z) . (19.36)
z=z j
z j ∈G
z 2
z 3
Der Residuensatz folgt aus dem Cauchyschen Integralsatz
bei Betrachtung des nebenstehenden Integrationsweges
Γ ′ . Auf diesem Weg wird Γ jeweils
durch einen Weg C i in die Nähe jedes Pol z i unterbrochen,
daran anschließend wird der Pol im Uhrzeigersinn
und der Weg −C i zurück zu Γ durchlaufen. Die Pole liegen alle außerhalb des
von Γ ′ umlaufenen Gebietes, also verschwindet das Wegintegral über Γ ′ . Die Beiträge
der Wegintegrale über C i und −C i heben sich auf, wenn beide Wege bis auf den Durchlaufsinn
übereinstimmen. Demnach heben sich das Wegintegral über Γ und über die im
Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreise um die Pole gegenseitig auf. Es gilt also
∮
Γ=∂Gdz f(z) = ∑ i
∮
K i
dz f(z) = ∑ i
∮
K i
dz
∞∑
n=−∞
(z − z i ) n c n . (19.37)
Dabei bezeichnet K i die im mathematisch positiven Sinn durchlaufenen Kreise um die
Pole z i . Für n ≠ −1 verschwinden die Umlaufintegrale über (z−z i ) n (19.18), es verbleibt
∮
K i
dz
∞∑
n=−∞
(z − z i ) n 19.19
c n = 2π i c −1 = 2π i Res f(z) . (19.38)
z=z i
Umlaufintegrale um Gebiete, in denen der Integrand komplex differenzierbar ist, verschwinden
– so wie in drei Dimensionen Oberflächenintegrale über elektrische Feldstärken
verschwinden, wenn im umhüllten Gebiet keine Ladung ist. Das Residuum eines
Pols entspricht in zwei Dimensionen einer dortigen Punktladung. Sie trägt additiv zum
Umlaufintegral bei. Überraschen mag an dieser Analogie, daß Pole höherer Ordnung,