Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

194 19 Komplex differenzierbare Funktionen
⃗C zweier reeller Vektorfelder
dz
dλ f = (dx dλ + i dy
dλ
) (u + i v) =
d⃗x
dλ · ⃗C , ⃗C =
( ) u + i v
−v + i u
. (19.20)
Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (19.5) besagen, daß die antisymmetrisierte
Ableitung des Vektorfeldes dort verschwindet, wo die Funktion f komplex differenzierbar
ist
∂ 1 C 2 − ∂ 2 C 1 = ∂ x (−v + i u) − ∂ y (u + i v) = 0 . (19.21)
Nach dem Satz von Stokes (14.8) verschwindet daher das Wegintegral über jeden geschlossenen
Weg Γ, der ein Gebiet G berandet, in dem f komplex differenzierbar ist
∫
0 = d 2 s ( ∫
∫
)
∂ 1 C 2 − ∂ 2 C 1 = dλ dsi
dλ C i(s(λ)) = dz f(z) . (19.22)
Dies ist der
G
Λ
Γ=∂G
Cauchysche Integralsatz: Das Umlaufintegral über die Funktion f verschwindet über
jeden geschlossenen Weg, auf dem f stetig ist und der ein Gebiet berandet, in dem f
komplex differenzierbar ist, ∮
dz f(z) = 0 . (19.23)
Ist der Integrationsweg Γ von z zu z nicht geschlossen, so ergibt sich aus dem Cauchyschen
Integralsatz, daß das Wegintegral mit demjenigen über jeden anderen Weg Γ ′ von
z zu z übereinstimmt, wenn f im Gebiet, das von Γ − Γ ′ berandet wird, komplex differenzierbar
ist. Dabei bezeichnet Γ − Γ ′ den Weg von z längs Γ nach z und längs des
rückwärts durchlaufenen Weges Γ ′ zurück nach z.
Als Beispiel für den Cauchyschen Integralsatz werten wir für komplexes a ≠ 0 mit nicht
R e iϕ/2 negativem Realteil, a = |a|eiϕ , |ϕ| ≤ π/2, das Integral
∫
e −z2
C 1
.
.
C 3
C 2
.
.
.
.
0 R
∫ ∞
0
√
|a|e
i ϕ 2 dλ e −aλ2 = lim dz e −z2 (19.24)
R→∞
C 3
als Grenzwert für R → ∞ des komplexen Wegintegrals über
den Strahl C 3 vom Ursprung zu R e i ϕ 2 aus,
C 3 : [0,
R
√
|a|
] → C , λ ↦→ z(λ) = √ |a|e i ϕ/2 λ . (19.25)
Zusammen mit dem Strahl C 1 vom Ursprung zu R und dem Kreisbogen C 2 : λ ↦→ R e iλ ,
0 ≤ λ ≤ ϕ/2, berandet C 1 +C 2 −C 3 einen Kreissektor mit Radius R und Öffnungswinkel
ϕ/2, in dem der Integrand e −z2 komplex differenzierbar ist. Da das Umlaufintegral
verschwindet, ist ∫ C 1
+ ∫ C 2
= ∫ C 3
für jedes R .
Im Grenzfall R → ∞ verschwindet aber, wie die folgende Abschätzung zeigt, das
Integral über den Kreisbogen C 2 ,
∫ ∫ ϕ
∣ ∣ 2
dz e −z2 = dλ R i e iλ e ∣ ∫ ϕ
2
−R2 (cos(2λ)+i sin(2λ)) ≤ dλ R e −R2 cos(2λ)
C 2
∣
= R 2
0
∫ ϕ
0
dψ e −R2 cos ψ ≤ R 2
∫ π
2
0
dψ e −R2 cos ψ = R 2
0
∫ π
2
0
dα e −R2 sinα .
(19.26)