Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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folgt unter anderem, daß man aus Lösungen f von zweidimensionalen Potentialproblemen
durch komplex differenzierbare Abbildungen g neue Lösungen erhält. Ist beispielsweise
Rf auf einer Äquipotentialkurve Γ konstant, so ist R(f ◦ g) eine Lösung der Laplace-
Gleichung, die auf dem Urbild g −1 (Γ) konstant ist.
Wo df/dz nicht verschwindet, ist die Multiplikation mit df/dz eine Drehstreckung
(3.78) von dz = dx + i dy. Dort bildet die komplex differenzierbare Abbildung in erster
Näherung kleine Kreise auf kleine Kreise ab und ist daher winkeltreu.
Komplexes Wegintegral
Ist Γ : I ⊂ R → C , λ ↦→ z(λ) , ein parametrisierter Weg in der komplexen Ebene und f
eine auf dem Weg definierte Funktion, so definiert
∫ ∫
dz f(z) = dλ dz f(z(λ)) (19.15)
dλ
Γ
I
das komplexe Wegintegral. Es hängt nicht von der Parametrisierung ab (12.51).
Das Wegintegral über eine Ableitung df/dz einer komplex differenzierbaren Funktion
ist wegen
dz
dλ
df
dz = ( dx
dλ + i dy ) df
dλ dz
19.4
= ( dx ∂f
dλ ∂x + dy ∂f ) d = f(x(λ), y(λ)) (19.16)
dλ ∂y dλ
nach dem Hauptsatz der Integralrechnung die Differenz der Stammfunktion am Endpunkt
z = z(λ) und am Anfangspunkt z = z(λ) des Weges
∫
Γ
dz df ∫ λ
dz = dλ d f(x(λ), y(λ)) = f(z) − f(z) . (19.17)
λ dλ
Insbesondere verschwinden Wegintegrale über Ableitungen, wenn der Weg geschlossen
ist, also z = z gilt. Da (z−a) n für alle ganzen Zahlen n außer für n = −1 die Ableitung
von (z − a) n+1 /(n + 1) ist, gilt daher
∮
n ∈ Z , n ≠ −1 : dz (z − a) n = 0 . (19.18)
Das Symbol ∮ betont, daß es sich um ein Integral über einen geschlossenen Weg handelt.
Er darf für negative n nicht durch z = a gehen.
Die Stammfunktion ln(z−a) von 1/(z−a) existiert nur in der bei a aufgeschnittenen
Ebene. Auf einem Weg, der von z im mathematisch positiven Sinn einmal um a herum
zu z = z zurückführt, nimmt der Winkel arg(z − a) um 2 π und der Logarithmus um
2π i zu
∮
dz
1
z − a
= 2πi . (19.19)
Zerlegen wir f und dz in Real- und Imaginärteil, so erweist sich das komplexe Wegintegral
als reelles Wegintegral in zwei Dimensionen über eine komplexe
dλ
Linearkombination