Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik
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188 18 Distributionen Kettenregel Es sei y : x ↦→ y(x) eine streng monotone, beliebig oft differenzierbare Funktion, beispielsweise die Verschiebung um c, y(x) = x+c , oder die Streckung um einen Faktor a, y(x) = a x, wobei a ≠ 0 auch negativ sein kann. Da y invertierbar jede kompakte Menge auf eine kompakte Menge abbildet, sind die verketteten Funktionen t ◦ y und t ◦y −1 Testfunktionen, wenn t eine Testfunktion ist. Verkettung mit monotonen, glatten Funktionen bildet den Raum der Testfunktionen auf sich ab. Dies erlaubt, die verkettete Distribution σ ◦y so zu definieren, daß sie für die linearen Abbildungen L f , die zu integrablen Funktionen f gehören, mit L f◦y übereinstimmt. Nach dem Integralsubstitutionssatz (12.41) gilt für L f◦y ∫ ∫ dxf(y(x)) t(x) = dy f(y) ∣ dx ∣ t(x(y)) , (18.30) dy wobei auf der rechten Seite x : y ↦→ x(y) die Umkehrabbildung der Abbildung y auf der linken Seite bezeichnet. Also definieren wir als verkettete Distribution ( σ ◦ y ) = ˆσ ˆσ[t] = |∂y −1 | σ[t ◦ y −1 ] . (18.31) Für die δ-Funktion besagt dies insbesondere ∫ ∫ dxδ(y(x)) t(x) = dy δ(y) ∣ dx ∣ t(x(y)) = ∣ dx ∣ dy dy |y=0 t(x(0)) , (18.32) und für die Streckung y(x) = a x um a ≠ 0 gilt daher wegen x(y) = y/a ∫ ∫ dxδ(a x) t(x) = dy δ(y) 1 |a| t(y a ) = 1 1 t(0) , δ(a x) = δ(x) . (18.33) |a| |a| Also ist δ(x) = δ(−x) spiegelsymmetrisch. Für eine Verschiebung um −c, falls y(x) = x − c und x(y) = y + c ist, ergibt sich ∫ ∫ ∫ dxδ(x − c) t(x) = dxδ(c − x) t(x) = dy δ(y) t(y + c) = t(c) . (18.34) Die verschobene δ-Funktion, angewendet auf eine Testfunktion, ergibt den Wert der Testfunktion an dem Ort, an dem das Argument der δ-Funktion verschwindet. Bei Integration mit der δ-Funktion fallen das Integral und die δ-Funktion weg, so wie bei der Summe mit δ i j die Summe und das Kronecker-Delta wegfallen, δ i j t j = t i . Allgemeiner ergibt δ(y(x)) nach (18.32) den Wert der Testfunktion an der Nullstelle x 0 = x(0) von y, y(x 0 ) = 0, multipliziert mit der Ableitung der Umkehrfunktion x(y) bei y = 0, das ist der Kehrwert der Ableitung von y(x) bei x 0 (4.12). Daher ist δ(y(x)) = 1 | dy dx | δ(x − x 0) . (18.35) Hat die Abbildung y(x) mehrere Nullstellen x i , in denen jeweils die Ableitung dy/dx nicht verschwindet, so kann nicht für alle Distributionen σ die Verkettung σ ◦y definiert
189 werden, denn y ist nicht invertierbar. Zur Definition der verketteten δ-Funktion reicht aber, daß es nichtüberlappende Umgebungen U i jeder Nullstelle gibt, die invertierbar auf y(U i ) abgebildet werden. Man schreibt zur Auswertung der verketteten δ-Funktion das Integral (18.30) als Summe von Integralen über diese Umgebungen. Für jedes U i gilt (18.35). Insgesamt erhalten wir für δ(y(x)) die Summe über die Nullstellen von y, δ(y(x)) = ∑ y(x i )=0 Beispielsweise ist δ(t 2 − r 2 ) = (δ(t − r) + δ(t + r))/(2 |r|) . Höherdimensionale Distributionen 1 | dy dx | δ(x − x i) . (18.36) Höherdimensionale Distributionen sind lineare Abbildungen von Testfunktionen höherdimensionaler Gebiete M. Bei der höherdimensionalen δ-Funktion deutet man die Dimension so wie bei der Integrationsvorschrift durch eine hochgestellte Zahl an. Beispielsweise bildet die verschobene, dreidimensionale δ 3 -Funktion jede Testfunktion auf ihren Wert an dem Punkt ⃗a = (u, v, w) ab, an dem das Argument der δ-Funktion verschwindet, ∫ d 3 xδ 3 (⃗x − ⃗a) t(⃗x) = t(⃗a) . (18.37) Zerlegt man die Integration über ⃗x = (x, y, z) in drei Integrationen über x, y und z, so erweist sich die δ 3 -Funktion als Produkt dreier eindimensionaler δ-Funktionen verschiedener Argumente δ 3 (⃗x − ⃗a) = δ(x − u) δ(y − v) δ(z − w) . (18.38) Das Produkt von δ(x) mit sich ist nicht definiert. Für jede Testfunktion t ∈ ϑ gilt nach (17.10) ∫ d 3 x t(⃗y) = − 1 4π 1 ∆t(⃗x) , (18.39) |⃗x − ⃗y| denn da t einen kompakten Träger hat, verschwindet die Testfunktion und ihr Gradient auf dem Rand, wenn der Integrationsbereich genügend groß gewählt ist. Die Ableitungen der Testfunktion, integriert mit 1/|⃗x − ⃗y|, sind bis auf das Vorzeichen definitionsgemäß die Ableitungen der Distribution 1/|⃗x − ⃗y|, angewendet auf die Testfunktion, ∫ d 3 x ( 1 4 π ∆ 1 ) t(⃗x) = −t(⃗y) . (18.40) |⃗x − ⃗y| Also gilt im Distributionensinn 1 4 π ∆ 1 |⃗x − ⃗y| = −δ3 (⃗x − ⃗y) . (18.41)
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werden, denn y ist nicht invertierbar. Zur Definition <strong>der</strong> verketteten δ-Funktion reicht<br />
aber, daß es nichtüberlappende Umgebungen U i je<strong>der</strong> Nullstelle gibt, die invertierbar<br />
auf y(U i ) abgebildet werden. Man schreibt <strong>zu</strong>r Auswertung <strong>der</strong> verketteten δ-Funktion<br />
das Integral (18.30) als Summe von Integralen über diese Umgebungen. Für jedes U i<br />
gilt (18.35). Insgesamt erhalten wir für δ(y(x)) die Summe über die Nullstellen von y,<br />
δ(y(x)) = ∑<br />
y(x i )=0<br />
Beispielsweise ist δ(t 2 − r 2 ) = (δ(t − r) + δ(t + r))/(2 |r|) .<br />
Höherdimensionale Distributionen<br />
1<br />
| dy<br />
dx | δ(x − x i) . (18.36)<br />
Höherdimensionale Distributionen sind lineare Abbildungen von Testfunktionen höherdimensionaler<br />
Gebiete M. Bei <strong>der</strong> höherdimensionalen δ-Funktion deutet man die Dimension<br />
so wie bei <strong>der</strong> Integrationsvorschrift durch eine hochgestellte Zahl an. Beispielsweise<br />
bildet die verschobene, dreidimensionale δ 3 -Funktion jede Testfunktion auf ihren Wert<br />
an dem Punkt ⃗a = (u, v, w) ab, an dem das Argument <strong>der</strong> δ-Funktion verschwindet,<br />
∫<br />
d 3 xδ 3 (⃗x − ⃗a) t(⃗x) = t(⃗a) . (18.37)<br />
Zerlegt man die Integration über ⃗x = (x, y, z) in drei Integrationen über x, y <strong>und</strong> z,<br />
so erweist sich die δ 3 -Funktion als Produkt dreier eindimensionaler δ-Funktionen verschiedener<br />
Argumente<br />
δ 3 (⃗x − ⃗a) = δ(x − u) δ(y − v) δ(z − w) . (18.38)<br />
Das Produkt von δ(x) mit sich ist nicht definiert.<br />
Für jede Testfunktion t ∈ ϑ gilt nach (17.10)<br />
∫<br />
d 3 x<br />
t(⃗y) = − 1<br />
4π<br />
1<br />
∆t(⃗x) , (18.39)<br />
|⃗x − ⃗y|<br />
denn da t einen kompakten Träger hat, verschwindet die Testfunktion <strong>und</strong> ihr Gradient<br />
auf dem Rand, wenn <strong>der</strong> Integrationsbereich genügend groß gewählt ist. Die Ableitungen<br />
<strong>der</strong> Testfunktion, integriert mit 1/|⃗x − ⃗y|, sind bis auf das Vorzeichen definitionsgemäß<br />
die Ableitungen <strong>der</strong> Distribution 1/|⃗x − ⃗y|, angewendet auf die Testfunktion,<br />
∫<br />
d 3 x ( 1<br />
4 π ∆ 1 )<br />
t(⃗x) = −t(⃗y) . (18.40)<br />
|⃗x − ⃗y|<br />
Also gilt im Distributionensinn<br />
1<br />
4 π ∆ 1<br />
|⃗x − ⃗y| = −δ3 (⃗x − ⃗y) . (18.41)