Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

188 18 Distributionen
Kettenregel
Es sei y : x ↦→ y(x) eine streng monotone, beliebig oft differenzierbare Funktion, beispielsweise
die Verschiebung um c, y(x) = x+c , oder die Streckung um einen Faktor a,
y(x) = a x, wobei a ≠ 0 auch negativ sein kann. Da y invertierbar jede kompakte
Menge auf eine kompakte Menge abbildet, sind die verketteten Funktionen t ◦ y und
t ◦y −1 Testfunktionen, wenn t eine Testfunktion ist. Verkettung mit monotonen, glatten
Funktionen bildet den Raum der Testfunktionen auf sich ab.
Dies erlaubt, die verkettete Distribution σ ◦y so zu definieren, daß sie für die linearen
Abbildungen L f , die zu integrablen Funktionen f gehören, mit L f◦y übereinstimmt.
Nach dem Integralsubstitutionssatz (12.41) gilt für L f◦y
∫
∫
dxf(y(x)) t(x) = dy f(y) ∣ dx
∣ t(x(y)) , (18.30)
dy
wobei auf der rechten Seite x : y ↦→ x(y) die Umkehrabbildung der Abbildung y auf der
linken Seite bezeichnet. Also definieren wir als verkettete Distribution ( σ ◦ y ) = ˆσ
ˆσ[t] = |∂y −1 | σ[t ◦ y −1 ] . (18.31)
Für die δ-Funktion besagt dies insbesondere
∫
∫
dxδ(y(x)) t(x) = dy δ(y) ∣ dx
∣ t(x(y)) = ∣ dx
∣
dy dy |y=0
t(x(0)) , (18.32)
und für die Streckung y(x) = a x um a ≠ 0 gilt daher wegen x(y) = y/a
∫
∫
dxδ(a x) t(x) = dy δ(y) 1
|a| t(y a ) = 1
1
t(0) , δ(a x) = δ(x) . (18.33)
|a| |a|
Also ist δ(x) = δ(−x) spiegelsymmetrisch.
Für eine Verschiebung um −c, falls y(x) = x − c und x(y) = y + c ist, ergibt sich
∫
∫
∫
dxδ(x − c) t(x) = dxδ(c − x) t(x) = dy δ(y) t(y + c) = t(c) . (18.34)
Die verschobene δ-Funktion, angewendet auf eine Testfunktion, ergibt den Wert der
Testfunktion an dem Ort, an dem das Argument der δ-Funktion verschwindet.
Bei Integration mit der δ-Funktion fallen das Integral und die δ-Funktion weg, so wie
bei der Summe mit δ i j die Summe und das Kronecker-Delta wegfallen, δ i j t j = t i .
Allgemeiner ergibt δ(y(x)) nach (18.32) den Wert der Testfunktion an der Nullstelle
x 0 = x(0) von y, y(x 0 ) = 0, multipliziert mit der Ableitung der Umkehrfunktion x(y)
bei y = 0, das ist der Kehrwert der Ableitung von y(x) bei x 0 (4.12). Daher ist
δ(y(x)) = 1
| dy
dx | δ(x − x 0) . (18.35)
Hat die Abbildung y(x) mehrere Nullstellen x i , in denen jeweils die Ableitung dy/dx
nicht verschwindet, so kann nicht für alle Distributionen σ die Verkettung σ ◦y definiert