Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Selbst Distributionen, die durch unstetige Funktionen f gegeben sind, sind differenzierbar.
Beispielsweise hat die Stufenfunktion (2.5)
{ 0 , falls x ≤ 0
Θ(x) =
, (18.21)
1 , falls x > 0
angewendet auf eine Testfunktion t, die Ableitung
∫
dx ( ∫
d
dx Θ(x)) t(x) = dxΘ(x) ( − d dx t(x)) = dx ( − d dx t(x)) = −t(x) ∣ x=∞
= t(0) .
x=0
Als Distribution ist folglich die Ableitung der Stufe die δ-Funktion,
∫ ∞
0
(18.22)
d
Θ(x) = δ(x) . (18.23)
dx
Regularisieren wir die Stufenfunktion, beispielsweise durch die differenzierbare Funktionenschar,
(1
Θ(x) = lim
ǫ→0+ π arctan x ǫ + 1 )
, (18.24)
2
so erhalten wir für die Ableitung ebenfalls die δ-Funktion
d 1
dx π arctan x ǫ = 1 1 1
= 1 ǫ 18.11
→ δ(x) . (18.25)
π ǫ 1 + x2 π x 2 + ǫ 2 ǫ 2
Auch die δ-Funktion ist differenzierbar. Ihre Ableitung bildet Testfunktionen
∫
dx ( ∫
d
dx δ(x)) t(x) = dxδ(x) ( − d dx t(x)) = − dt (18.26)
dx| x=0
auf das Negative der Ableitung der Testfunktion bei x = 0 ab.
Da das Produkt einer glatten, das heißt beliebig oft differenzierbaren, Funktion f mit
einer Testfunktionen wieder eine Testfunktion ist, ist erklärt, was das Produkt einer
glatten Funktion f mit einer Distribution σ ist. Das ist die Distribution
(
f σ
)
[t] = σ[f t] . (18.27)
Insbesondere ist f(x) δ(x) das f(0)-fache der δ-Funktion, denn
∫
∫ ∫
dxf(x) δ(x) t(x) = f(0) t(0) = f(0) dx δ(x) t(x) = dxf(0) δ(x) t(x) ,
f(x) δ(x) = f(0) δ(x) . (18.28)
Für das Produkt von f mit der Ableitung der δ-Funktion berechnet man
∫
dx ( f(x) d dx δ(x)) t(x) =
∫
dx ( d
dx δ(x)) d(f t)
f(x) t(x) = −
dx | x=0
= − df
=
dx| x=0
t(0) + f(0) ( − dt
dx| x=0
)
∫
dx ( f(0) d df
δ(x) − δ(x) ) t(x) ,
dx dx| x=0
f(x) d dx δ(x) = f(0) d dx δ(x) − ( df
dx| x=0
)
δ(x) . (18.29)