Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik
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Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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184 18 Distributionen der Punkte x, in denen t nicht verschwindet. Die Funktionen aus ϑ nennen wir im weiteren Testfunktionen. Eine Folge von Testfunktionen t n konvergiert definitionsgemäß gegen eine Testfunktion t, wenn die Vereinigung der Träger von t n kompakt ist und t n − t mit allen Ableitungen überall gegen Null konvergiert. Jedes stetige, lineare Funktional L : ϑ → R nennen wir eine Distribution. Dabei ist ein Funktional L stetig, wenn für konvergente Folgen von Testfunktionen lim n L[t n ] = L[lim n t n ] (18.3) gilt. Beispielsweise definiert jede integrable Funktion f ein lineares Funktional, die Distribution { ϑ → R L f : t ↦→ L f [t] = ∫ , (18.4) dxf(x) t(x) die Testfunktionen stetig in die reellen Zahlen abbildet. Umgekehrt sind nach dem Fundamentallemma (13.17) der Variationsrechnung stetige Funktionen eindeutig durch ihre zugehörige Distribution bestimmt. Jede Funktion der Schar f ǫ , g ǫ und h ǫ definiert eine Distribution. Zudem existiert nach dem Mittelwertsatz (12.8) auch der Grenzwert ǫ → 0 dieser Distributionen, obwohl der Grenzwert der Funktionen nicht existiert, L gǫ [t] = ∫ ∫ ǫ 2 dxg ǫ (x) t(x) = dx 1 − ǫ ǫ t(x) = t(x) ǫ = t(x) → t(0) . (18.5) ǫ 2 Ebenso bilden L hǫ und L fǫ im Grenzfall ǫ → 0 jede Testfunktion auf t(0) ab, ∫ ∫ 1 dx √ e −( x ǫ )2 t(x) x=ǫ u 1 = √ du e −u2 t(ǫ u) → t(0) 1 ∫ √ du e −u2 12.85 = t(0) . (18.6) π ǫ π π Allerdings muß man hier, um den Grenzwert zu bestimmen, etwas umständlicher den u- Integrationsbereich in ein Intervall [−R, R] und die Randbereiche x < −R und x > R unterteilen. Wählt man R genügend groß, dann sind ∣ ∫ ∞ R du t(ǫ u) ∣ ∫ ∞ ≤ e−u2 |t|max R du e−u2 und ∫ −R du t(ǫ u) kleiner als jeder vorgegebene Fehler. Aus dem Integral über das −∞ e−u2 Intervall [−R, R] zieht man t(ǫ u) an einer Zwischenstelle |u| < R heraus. Die Distribution lim ǫ→0 L gǫ , die angewendet auf eine Testfunktion t ihren Funktionswert t(0) ergibt, schreiben wir als ∫ L δ [t] = t(0) = dxδ(x) t(x) . (18.7) Sie ist wohldefiniert. Aber ihre Schreibweise als Integral ist nur formal: δ(x) existiert nicht als Funktion, auch wenn wir δ(x) so schreiben und von der δ-Funktion reden. Sie existiert nur als Distribution L δ , angewendet auf Testfunktionen. Das Integral der δ- Funktion mit einer Testfunktion ist nicht als Grenzwert einer Riemannsumme definiert, sondern bezeichnet die lineare Abbildung, die die Testfunktion auf ihren Funktionswert bei x = 0 abbildet.

185 Was ihre Wirkung auf Testfunktionen angeht, verhalten sich f ǫ , g ǫ und h ǫ im Grenzfall ǫ → 0 wie die δ-Funktion. Sie sind Regularisierungen der δ-Funktion. Dieser Sachverhalt, lim ǫ→0 L hǫ = L δ , ist gemeint, wenn man davon spricht, daß lim h ǫ(x) = δ(x) (18.8) ǫ→0 im Distributionensinn gilt. Daß es sinnlos ist, vom Wert der δ-Funktion bei x = 0 zu reden, zeigt die Funktionenschar h ǫ , die bei x = 0 den beliebig wählbaren Wert h ǫ (0) = a hat. Die Distribution lim ǫ→0+ 1 x+i ǫ Für positives ǫ, das gegen Null strebt, ist der Grenzwert von 1 x + i ǫ = x − i ǫ (18.9) x 2 + ǫ 2 bei x = 0 nicht erklärt. Als Distribution aufgefaßt, also auf Testfunktionen t angewendet, gilt für den Imaginärteil ∫ ǫ 2 ∫ dx = du ∫ ǫ dx x 2 + ǫ t(x) = 2 ǫ → t(0) x 2 + ǫ t(ǫ x 2 ǫ ) x=ǫ u ∫ du 1 t(ǫ u) 1 + u2 1 1 + u 2 = t(0) arctanu∣ ∣ u=∞ u=−∞ = t(0) π . (18.10) Bei der Substitution u = x/ǫ haben wir verwendet, daß ǫ größer als Null ist, sonst wäre ein Faktor signǫ aufgetreten (12.41). Um zu schließen, daß t(ǫ u) im Grenzfall ǫ → 0 durch t(0) ersetzt werden darf, muß man das Integral wie bei (18.6) in zwei Randbereiche aufteilen, die nur vernachlässigbar beitragen, und ein Integral über ein Intervall, aus dem man t(ǫ u) mit dem Mittelwertsatz als t(ǫu) an einer Zwischenstelle herausziehen kann. Als Grenzwert für positive ǫ, die gegen Null streben, erhalten wir im Distributionensinn ǫ lim = π δ(x) . (18.11) ǫ→0+ x 2 + ǫ2 das heißt, integriert mit einer Testfunktion ergeben beide Seiten π t(0) . Auf Testfunktionen angewendet ergibt der Realteil von 1/(x + i ǫ) für ǫ ≠ 0 ∫ dx ∫ x x 2 + ǫ t(x) = dx 2 x 1( ) t(x) − t(−x) , (18.12) x 2 + ǫ 2 2 ( ) ) denn t(x) = 1 2 t(x) + t(−x) + 1 2( t(x) − t(−x) kann in seine unter Spiegelung von x geraden und ungeraden Anteile zerlegt werden, und das Integral über den spiegelsymmetrischen Integrationsbereich über das ungerade Produkt der ungeraden Funktion x/(x 2 + ǫ 2 ) mit dem geraden Anteil von t verschwindet. Da die Testfunktion differenzierbar ist, geht t(x) − t(−x) 2 x (18.13)

185<br />

Was ihre Wirkung auf Testfunktionen angeht, verhalten sich f ǫ , g ǫ <strong>und</strong> h ǫ im Grenzfall<br />

ǫ → 0 wie die δ-Funktion. Sie sind Regularisierungen <strong>der</strong> δ-Funktion. Dieser Sachverhalt,<br />

lim ǫ→0 L hǫ = L δ , ist gemeint, wenn man davon spricht, daß<br />

lim h ǫ(x) = δ(x) (18.8)<br />

ǫ→0<br />

im Distributionensinn gilt.<br />

Daß es sinnlos ist, vom Wert <strong>der</strong> δ-Funktion bei x = 0 <strong>zu</strong> reden, zeigt die Funktionenschar<br />

h ǫ , die bei x = 0 den beliebig wählbaren Wert h ǫ (0) = a hat.<br />

Die Distribution lim ǫ→0+<br />

1<br />

x+i ǫ<br />

Für positives ǫ, das gegen Null strebt, ist <strong>der</strong> Grenzwert von<br />

1<br />

x + i ǫ = x − i ǫ<br />

(18.9)<br />

x 2 + ǫ 2<br />

bei x = 0 nicht erklärt. Als Distribution aufgefaßt, also auf Testfunktionen t angewendet,<br />

gilt für den Imaginärteil<br />

∫<br />

ǫ 2<br />

∫<br />

dx<br />

= du<br />

∫<br />

ǫ dx<br />

x 2 + ǫ t(x) = 2 ǫ<br />

→ t(0)<br />

x 2 + ǫ t(ǫ x 2 ǫ ) x=ǫ u<br />

∫<br />

du<br />

1<br />

t(ǫ u)<br />

1 + u2 1<br />

1 + u 2 = t(0) arctanu∣ ∣ u=∞<br />

u=−∞ = t(0) π . (18.10)<br />

Bei <strong>der</strong> Substitution u = x/ǫ haben wir verwendet, daß ǫ größer als Null ist, sonst wäre<br />

ein Faktor signǫ aufgetreten (12.41). Um <strong>zu</strong> schließen, daß t(ǫ u) im Grenzfall ǫ → 0<br />

durch t(0) ersetzt werden darf, muß man das Integral wie bei (18.6) in zwei Randbereiche<br />

aufteilen, die nur vernachlässigbar beitragen, <strong>und</strong> ein Integral über ein Intervall, aus dem<br />

man t(ǫ u) mit dem Mittelwertsatz als t(ǫu) an einer Zwischenstelle herausziehen kann.<br />

Als Grenzwert für positive ǫ, die gegen Null streben, erhalten wir im Distributionensinn<br />

ǫ<br />

lim = π δ(x) . (18.11)<br />

ǫ→0+ x 2 + ǫ2 das heißt, integriert mit einer Testfunktion ergeben beide Seiten π t(0) .<br />

Auf Testfunktionen angewendet ergibt <strong>der</strong> Realteil von 1/(x + i ǫ) für ǫ ≠ 0<br />

∫<br />

dx<br />

∫<br />

x<br />

x 2 + ǫ t(x) = dx<br />

2<br />

x 1( )<br />

t(x) − t(−x) , (18.12)<br />

x 2 + ǫ 2 2<br />

( ) )<br />

denn t(x) = 1 2 t(x) + t(−x) +<br />

1<br />

2(<br />

t(x) − t(−x) kann in seine unter Spiegelung von x<br />

geraden <strong>und</strong> ungeraden Anteile zerlegt werden, <strong>und</strong> das Integral über den spiegelsymmetrischen<br />

Integrationsbereich über das ungerade Produkt <strong>der</strong> ungeraden Funktion<br />

x/(x 2 + ǫ 2 ) mit dem geraden Anteil von t verschwindet.<br />

Da die Testfunktion differenzierbar ist, geht<br />

t(x) − t(−x)<br />

2 x<br />

(18.13)

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