Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

184 18 Distributionen
der Punkte x, in denen t nicht verschwindet. Die Funktionen aus ϑ nennen wir im
weiteren Testfunktionen. Eine Folge von Testfunktionen t n konvergiert definitionsgemäß
gegen eine Testfunktion t, wenn die Vereinigung der Träger von t n kompakt ist und
t n − t mit allen Ableitungen überall gegen Null konvergiert.
Jedes stetige, lineare Funktional L : ϑ → R nennen wir eine Distribution. Dabei ist
ein Funktional L stetig, wenn für konvergente Folgen von Testfunktionen
lim
n
L[t n ] = L[lim
n
t n ] (18.3)
gilt. Beispielsweise definiert jede integrable Funktion f ein lineares Funktional, die Distribution
{
ϑ → R
L f :
t ↦→ L f [t] = ∫ , (18.4)
dxf(x) t(x)
die Testfunktionen stetig in die reellen Zahlen abbildet. Umgekehrt sind nach dem Fundamentallemma
(13.17) der Variationsrechnung stetige Funktionen eindeutig durch ihre
zugehörige Distribution bestimmt.
Jede Funktion der Schar f ǫ , g ǫ und h ǫ definiert eine Distribution. Zudem existiert
nach dem Mittelwertsatz (12.8) auch der Grenzwert ǫ → 0 dieser Distributionen, obwohl
der Grenzwert der Funktionen nicht existiert,
L gǫ [t] =
∫
∫ ǫ
2
dxg ǫ (x) t(x) = dx 1
− ǫ ǫ t(x) = t(x) ǫ = t(x) → t(0) . (18.5)
ǫ
2
Ebenso bilden L hǫ und L fǫ im Grenzfall ǫ → 0 jede Testfunktion auf t(0) ab,
∫
∫
1
dx √ e −( x ǫ )2 t(x) x=ǫ u 1
= √ du e −u2 t(ǫ u) → t(0) 1 ∫
√ du e −u2 12.85
= t(0) . (18.6)
π ǫ π π
Allerdings muß man hier, um den Grenzwert zu bestimmen, etwas umständlicher den u-
Integrationsbereich in ein Intervall [−R, R] und die Randbereiche x < −R und x > R unterteilen.
Wählt man R genügend groß, dann sind ∣ ∫ ∞
R du t(ǫ u) ∣ ∫ ∞
≤ e−u2 |t|max
R
du e−u2
und ∫ −R
du t(ǫ u) kleiner als jeder vorgegebene Fehler. Aus dem Integral über das
−∞ e−u2
Intervall [−R, R] zieht man t(ǫ u) an einer Zwischenstelle |u| < R heraus.
Die Distribution lim ǫ→0 L gǫ , die angewendet auf eine Testfunktion t ihren Funktionswert
t(0) ergibt, schreiben wir als
∫
L δ [t] = t(0) = dxδ(x) t(x) . (18.7)
Sie ist wohldefiniert. Aber ihre Schreibweise als Integral ist nur formal: δ(x) existiert
nicht als Funktion, auch wenn wir δ(x) so schreiben und von der δ-Funktion reden. Sie
existiert nur als Distribution L δ , angewendet auf Testfunktionen. Das Integral der δ-
Funktion mit einer Testfunktion ist nicht als Grenzwert einer Riemannsumme definiert,
sondern bezeichnet die lineare Abbildung, die die Testfunktion auf ihren Funktionswert
bei x = 0 abbildet.