Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

18 Distributionen
Diracsche δ-Funktion
Die Ladungsdichte ρ(⃗x) einer punktförmigen Einheitsladung im Ursprung kann keine
Funktion in dem Sinne sein, daß sie jedem Ort ⃗x ∈ R 3 eine reelle Zahl ρ(⃗x) zuordnet,
und die zudem über ein Volumen V integriert die enthaltene Ladung Q(V) ergibt. Da
diese Ladung verschwindet, wenn V den Ursprung nicht enthält, muß die Ladungsdichte,
die wir mit δ 3 (⃗x) bezeichnen, für ⃗x ≠ 0 außer in einer Ausnahmemenge vom Maß Null
verschwinden. Hingegen über ein Volumen V integriert, das 0 enthält, muß sich der Wert
der Einheitsladung ergeben
∫ {
Q(V) = d 3 xδ 3 0 falls 0 /∈ V
(⃗x) =
1 falls 0 ∈ V . (18.1)
V
Solch eine Funktion kann nicht existieren. Denn die Menge der Punkte, in der sie nicht
verschwindet, ist vom Maß Null, daher verschwindet Q(V) für jedes Volumen, egal welchen
Funktionswert δ 3 (⃗x) bei ⃗x = 0 hat.
Unbeirrt von der Widersprüchlichkeit der von Paul Dirac (1902-1984) [18] eingeführten
Delta-Funktion δ 3 (⃗x) haben Physiker lange Jahre mit ihr richtig gerechnet, bevor
Laurent Schwartz (1915-2002) klärte, was es damit auf sich hat. Eine deutschsprachige,
mathematisch stichhaltige Darstellung gibt beispielsweise [21].
Es existieren Scharen reeller Funktionen, beispielsweise, für ǫ > 0, a ∈ R,
⎧
{
f ǫ (x) = √ 1
1
e −( falls |x| ≤
⎪⎨
ǫ a falls |x| ≤ ǫ 2
ǫ x)2 ǫ 2
1
, g ǫ (x) = , h ǫ (x) = falls ǫ
πǫ
ǫ 2
0 sonst
⎪⎩
< |x| ≤ ǫ ,
0 sonst
(18.2)
die in einfachheitshalber einer Dimension für genügend kleines ǫ > 0 nahezu die Eigenschaften
einer Ladungsdichte im Ursprung haben: für jedes abgeschlossene Volumen V
das den Ursprung nicht enthält, oder jedes offene Volumen, das ihn enthält, und für jeden
vorgegebenen Fehler gibt es ein ǫ, sodaß das Integral über V über f ǫ oder g ǫ oder h ǫ
für alle 0 < ǫ < ǫ um weniger als den vorgegebenen Fehler von 0 oder 1 abweicht.
Aber der Grenzwert ǫ → 0 von f ǫ (x) , g ǫ (x) und h ǫ (x) definiert keine Funktion δ(x) .
Vielmehr existiert der Grenzwert im Dualraum der Funktionen, also im Raum der linearen
Funktionale, die Funktionen in die reellen Zahlen abbilden.
Zur Erklärung erinnern wir daran, daß reelle oder komplexe Funktionen Vektorräume
bilden, beispielsweise den Raum ϑ der beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen mit
kompakten Träger. Dabei ist der Träger einer Funktion t der Abschluß der Untermenge