Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

182 17 Potentialtheorie
Das heißt, die Ladungen q i auf den Leitern mit Oberflächen ∂V i sind proportional
zu den Spannungen φ i . Die Kapazitätskoeffizienten C ij sind symmetrisch, denn die
Greenfunktion ist symmetrisch, G(⃗x,⃗y) = G(⃗y,⃗x) . Sie hängen nur von der Geometrie der
Oberflächen ab. C ij ist die Ladung auf der Fläche ∂V i , falls an V j die Einheitsspannung
anliegt und alle anderen Flächen geerdet sind. Daher ist C ij für i = j positiv und für i ≠ j
negativ, denn es werden nur Ladungen mit entgegengesetztem Vorzeichen induziert.
Beispielsweise ist φ(r) = q 1
+ q 2
4π r 4π r 2
das Potential zwischen zwei konzentrischen Kugelschalen
mit Radien r 1 und r 2 , auf deren innerer Schale die Ladung q 1 und auf deren
äußerer Schale die Ladung q 2 sitzt. Die Spannungen, φ 1 = φ(r 1 ) , φ 2 = φ(r 2 ) , und
Kapazitätskoeffizienten sind
(
φ1
φ 2
)
= 1
4π
(
1
r 1
1
r 2
1 1
r 2
) (q1 )
,
q
r 2 2
(
q1
)
= 4π r (
1 r 2 1
q 2 r 2 − r 1
−1
) ( ) −1 φ1
r 2
. (17.38)
r 1
φ 2
Das elektrische Feld solcher geladener Leiter hat die Energie (14.29)
E = 1 ∫
d 3 x⃗E 2 = 1 ∫
d 3 x∂ i φ∂ i φ = 1 ∫
d 3 xφ(−∆φ) = 1 ∫
d 3 xφ(⃗x) ρ(⃗x) . (17.39)
2 2
2
2
Bei der partiellen Integration ist hierbei unterstellt, daß |φ gradφ| für große |⃗x| schneller
als 1/|⃗x| 2 abfällt, sodaß keine Randterme auftreten.
Da die Ladungen jeweils auf der Oberfläche von Äquipotentialflächen ∂V i sitzen, ist
das Integral einfach die Summe der Potentialwerte φ i , multipliziert mit der Ladung q i
des jeweiligen Leiters,
E = 1 ∑
∫
φ i d 2 f σ = 1 ∑
φ i q i . (17.40)
2 ∂V i
2
i
Die Ladungen sind linear in den Spannungen, q i = ∑ j C ij φ j . Daher ist die Energie
quadratisch in den Spannungen. Die Kapazitätskoeffizienten sind die Koeffizienten dieser
quadratischen Form,
E = 1 ∑
C ij φ i φ j . (17.41)
2
ij
i