Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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wobei die partiellen Ableitung ∂ i u(z) nach der i-ten Komponente von z ableitet und
diese Funktion bei z = x/s zu nehmen ist. Erneutes Differenzieren mit der Kettenregel
zeigt ∆s 1−m = 0 (bei (s ≠ 0)) und
∂ x i∂ x iu(x/s) = 1 s 2 (
∆u +
4 − 2n
R 2 x i ∂ i u ) , (17.31)
woraus (17.28) folgt.
Ist nun u das Potential einer Punktladung bei y im Inneren der Kugel, so ist u − I R u
ein Potential, das durch I R in sein negatives übergeht und daher auf der Kugeloberfläche
verschwindet, denn die ist ja invariant unter der Spiegelung. Daher ist in n = 3
Dimensionen
G(⃗x,⃗y) = 1
4π
( 1
|⃗x − ⃗y| − R
|⃗x|
1
| ⃗xR2
⃗x 2 − ⃗y|
) 1 ( 1 =
4π
|⃗x − ⃗y| − 1
√
R 2 − 2⃗x ·⃗y + ⃗x2 ⃗y 2
R 2 )
(17.32)
für |⃗y| < R die Greenfunktion einer Punktladung im hohlen Inneren einer Metallkugel
mit Radius R und für |⃗y| > R außerhalb solch einer Metallkugel. Da der Gradient in
Normalenrichtung auf der Kugeloberfläche |⃗x| = R den Wert
x i
R ∂ iG(⃗x,⃗y) ||⃗x|=R = − R2 − ⃗y 2
4π R|⃗x − ⃗y| 3 (17.33)
hat, ist nach (17.16) jede im Inneren der Kugel harmonische Funktion ϕ dort durch
ϕ(⃗y) = R2 − ⃗y 2 ∫
d 2 f ϕ(⃗x)
(17.34)
4πR |⃗x − ⃗y| 3
als Integral über ihre Randwerte gegeben.
Kapazitätskoeffizienten
|⃗x|=R
Nach (17.16) ist in einem ladungsfreien Gebiet V, das von leitenden Oberflächen ∂V j
begrenzt wird, deren elektrische Spannung φ j beträgt, das Potential
φ(⃗y) = −
N∑
φ j d
∫∂V 2 f ⃗n · gradG(⃗x,⃗y) . (17.35)
j
j=1
Die Ladungsdichte auf der Oberfläche ∂V i ist die Komponente des elektrischen Feldes
⃗E = − gradφ in Gegenrichtung des aus V herauszeigenden Normalenvektors (17.23)
N∑
∫
σ(⃗y) = |⃗y∈∂Vi ⃗n ′ · gradφ = − φ j n ′l ∂ y l d 2 f n k ∂ x kG(⃗x,⃗y) , (17.36)
∂V j
j=1
wobei ⃗n den Normalenvektor auf ∂V j und ⃗n ′ den Normalenvektor auf ∂V i bezeichnet.
Die Gesamtladung auf ∂V i ergibt sich hieraus durch Integration
q i = ∑ ∫ ∫
C ij φ j , C ij = − d 2 f ′ n ′l ∂ y l d 2 f n k ∂ x kG(⃗x,⃗y) = C ji . (17.37)
j
∂V i ∂V j