Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

180 17 Potentialtheorie
Diese Ladung, die sich im Leiter als Reaktion auf die Punktladung q am Ort ⃗x ′ einstellt,
und die über die Erdung zufließt, heißt influenzierte Ladung. Insgesamt ist die Spiegelladung
−q influenziert, wie Integrieren über die gesamte Oberfläche in Polarkoordinaten
für (y − y ′ , z − z ′ ) zeigt
∫
∂V
d 2 f σ = − 1 ∫ ∞
4π 0
dr r
∫ 2π
= q x ′( x ′2 + r 2) −1/2 ∣ ∣ r=∞
0
2 q x ′
∫ ∞
dϕ (
x
′2
+ r 2) = −4π 3/2
4π q r
x′ dr (
0 x
′2
+ r 2) 3/2
(17.25)
= −q . r=0
Die influenzierte Ladung übt auf die Ladung bei ⃗x ′ dieselbe Kraft ⃗F = −q 2 /4π (2 x ′ ) 2 ⃗e x
aus, wie eine Spiegelladung bei ⃗x ′′ , denn sie erzeugt das Potential
g(⃗x,⃗x ′ q
) = −
4π |⃗x −⃗x ′′ |
(17.26)
(17.15,17.21). Leitende, geerdete Oberflächen ziehen geladene Teilchen an.
Ebenso wie für die leitende Ebene kann man für eine leitende Kugeloberfläche oder in
zwei Dimensionen für einen Kreis durch eine Spiegelladung die Greenfunktion erschließen.
Dazu ist hilfreich, zu wissen, daß Lösungen der Poisson-Gleichung nicht nur durch
Verschiebungen und Drehungen in Lösungen zu verschobenen und gedrehten Ladungsverteilungen
übergehen, sondern auch unter konformen Transformationen. Konforme
Transformationen bilden Kugelflächen auf Kugelflächen ab und werden von Verschiebungen,
Drehungen und Spiegelungen I R (5.63) an Kugelflächen mit Radius R um den
Ursprung erzeugt. Diese Spiegelung, die Kelvintransformation, bildet Funktionen u eines
Gebietes G ⊂ R n , 0 /∈ G auf Funktionen
v(x) = (I R u)(x) = r2−n
R 2−n u( xR 2
r 2 )
, r 2 = x i x i (17.27)
des gespiegelten Gebietes ab und umgekehrt, (I R ) 2 = id . Mit einigem Rechenaufwand
bestätigt man,
∆v(x) = Rn+2
r n+2 ∆u | z=
x R 2
r 2 . (17.28)
Die Ladungsdichte ρ ′ = −∆v transformiert also verglichen mit dem Potential mit einem
zusätzlichen Vorfaktor R 4 /r 4 .
Bei der rechnerischen Bestätigung von (17.28) ist es hilfreich, mit der Variablen
s = r 2 /R 2 die Kelvintransformierte als s 1−m u(x/s) mit m = n/2 zu schreiben. Die
Produktregel ergibt
∆v(x) = (∆s 1−m ) u(x/s) + 2(∂ i s 1−m )(∂ x iu(x/s) + s 1−m ∂ x i∂ x iu(x/s) (17.29)
Dabei verschwindet der erste Term. Die Kettenregel ergibt
∂ i s 1−m = (1 − m) s −m 2 xi
R 2 , ∂ x iu(x/s) = 1 s ∂ iu − 2 xi x j
s 2 R 2 ∂ ju , (17.30)