Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Die Bilinearität ist aus (1.36) unmittelbar ersichtlich, während man sie dem Produkt
(1.37) der Beträge mit dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels nicht ansieht.
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich ist sein Längenquadrat. In einem Euklidischen
Vektorraum, nicht aber in der Raumzeit, ist es positiv definit,
⃗a · ⃗a ≥ 0 , ⃗a ·⃗a = 0 ⇔ ⃗a = 0 . (1.40)
Aus dem Längenquadrat läßt sich das Skalarprodukt rekonstruieren,
Metrik
⃗a ·⃗b = 1 4(
(⃗a + ⃗b) ·(⃗a + ⃗b) − (⃗a − ⃗b) ·(⃗a − ⃗b) ) . (1.41)
Da √ u ·u die Länge des Vektors u ergibt, heißt das Skalarprodukt auch Metrik,
g : V × V → R , (u, v) ↦→ g(u, v) = u ·v . (1.42)
Sie ist permutationssymmetrisch und bilinear
g(u, v) = g(v, u) , g(u, v + w) = g(u, v) + g(u, w) , g(u, λ v) = λ g(u, v) , (1.43)
und daher durch ihre Werte für Basisvektoren festgelegt,
g(u, v) = g(e i u i , e j v j ) = g(e i , e j ) u i v j = g ij u i v j , g ij = g(e i , e j ) = g ji . (1.44)
Die Skalarprodukte der Basisvektoren sind die Komponenten der Metrik g ij = e i ·e j .
Hierbei treten zwei Indizes i und j auf, weil wir Paare von Basisvektoren abzählen, die als
erstes und als zweites Argument der Metrik auftreten. Die verschiedenen Indizes können
unabhängig voneinander Werte annehmen, mit denen wir die Basisvektoren abzählen.
Wenn wir in der Metrik g(u, v) die Summen u = e i u i und v = e i v i einsetzen, müssen
wir zunächst ein Paar Summationsindizes umbenennen, denn die Summen, aus denen u
und v bestehen, sind unabhängig voneinander. Hätten wir fälschlicherweise die Summe
v = e i v i nicht umbenannt, so wäre der undefinierte Ausdruck g(e i , e i ) u i v i mit einen
vierfach auftretenden Index entstanden, der zum Beispiel den Term g(e 1 , e 2 ) u 1 v 2 nicht
enthält. Ein mehr als zweifach in einem Term auftretender Index zeigt in Indexschreibweise
einen Fehler an.
In einem Raum mit Skalarprodukt gehört zu jedem Vektor u ∈ V auf natürliche Art
der Dualvektor ũ ∈ V ∗ , das ”
Skalarprodukt mit u“,
ũ : V → R , v ↦→ g(u, v) = g(u, e j v j ) = g(u, e j ) v j (1.45)
mit Komponenten ũ j = g(u, e j ) = u i g ij , ũ = u i g ij f j . Umgekehrt sind dann die
Komponenten von u eine Linearkombination der Komponenten von ũ, u i = g −1ik ũ k .
Da u = e i g −1ik ũ k und ũ eindeutig und invertierbar miteinander zusammenhängen,
spart man sich die unterscheidende Notation und läßt das Zeichen˜bei den Komponenten
weg und das −1 bei der inversen Metrik. Man erkennt an der Indexstellung, ob es sich
um die Komponenten des Vektors oder der inversen Metrik (obere Indizes) oder des
dualen Vektors oder der Metrik (untere Indizes) handelt. Sie hängen durch ”
Herauf- und
Herunterziehen“ des Indexes miteinander zusammen
u j = g ji u i , u i = g ik u k . (1.46)
Wie man die Komponenten g ik der inversen Metrik berechnet, klärt erst (3.74).