Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik
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176 17 Potentialtheorie Das Integral über den ersten Term verschwindet im Grenzfall ǫ → 0, ∫ d 2 1 ⃗f · gradφ(⃗x) = 1 ∫ d 2 ⃗f · gradφ(⃗x) → 0 , (17.7) ∂K ǫ |⃗x − ⃗y| ǫ ∂K ǫ denn nach dem Integralmittelwertsatz ist es gleich einem Wert von ⃗n · gradφ an einer Stelle der Kugelfläche mal der Größe der Kugelfläche 4πǫ 2 geteilt durch ǫ. Im zweiten Term des Integranden ist das Skalarprodukt das Negative des Produkts der Beträge. Nach dem Mittelwertsatz gilt für eine Zwischenstelle ⃗z auf der Kugelfläche ∂K ǫ ∫ d 2 ⃗x − ⃗y ⃗f ∂K ǫ |⃗x − ⃗y| φ(⃗x) = − 1 ∫ d 2 f φ(⃗x) = − 4πǫ2 φ(⃗z) . (17.8) 3 ǫ 2 ∂K ǫ ǫ2 Da ⃗z für ǫ gegen Null gegen den Mittelpunkt ⃗y von K ǫ strebt, geht das Integral über ∂K ǫ dabei gegen −4πφ(⃗y) . Insgesamt erhalten wir also ∫ V d 3 1 x |⃗x − ⃗y| ∫∂V ∆φ(⃗x) = d 2 ⃗f · ( 1 |⃗x − ⃗y| und nach φ(⃗y) aufgelöst gradφ(⃗x) + φ(⃗y) = − 1 ∫ d 3 x ∆φ(⃗x) 4π V |⃗x − ⃗y| + 1 ∫ d 2 ⃗f · ( 1 4π ∂V |⃗x − ⃗y| ⃗x − ⃗y |⃗x − ⃗y| 3 φ(⃗x) ) − 4πφ(⃗y) (17.9) gradφ(⃗x) + ⃗x − ⃗y |⃗x − ⃗y| 3 φ(⃗x)) . (17.10) Jede in V zweifach stetig differenzierbare Funktion φ ist durch ∆φ und ihre Randwerte auf ∂V festgelegt. Da das elektrostatische Potential einer räumlich beschränkten Ladungsverteilung für große Abstände verschwindet und sein Gradient schneller als 1/r gegen Null geht, verschwinden für V = R 3 die Randterme. Folglich löst (14.22) für inselförmige Ladungsverteilungen die Poisson-Gleichung. Harmonische Funktionen Als harmonisch bezeichnet man Funktionen ϕ eines Gebietes V, die dort die Laplace- Gleichung ∆ϕ = 0 erfüllen. Beispielsweise ist das elektrostatische Potential im ladungsfreien Raum harmonisch. Für harmonische Funktionen ϕ verschwindet nach dem Gaußschen Satz das Oberflächenintegral über die Normalenableitung, ∫ ∫ d 2 ⃗f · gradϕ = d 3 x∂ i ∂ i ϕ = 0 . (17.11) ∂V Für einen inneren Punkt ⃗y im Gebiet V betrachten wir eine Kugel K R,⃗y ⊂ V um ⃗y mit einem Radius R . Die Darstellung (17.10) zweifach stetig differenzierbarer Funktionen gilt auch für V = K R,⃗y . Dabei verschwindet, weil ϕ in K R,⃗y harmonisch ist, das Volumenintegral und auch das Oberflächenintegral über die Normalenableitung von ϕ, V
177 denn sie wird mit einem konstanten Faktor 1/R integriert. Es verbleibt der Mittelwert M R,⃗y [ϕ] von ϕ auf der Kugelfläche um ⃗y mit Radius R ϕ(⃗y) = M R,⃗y [ϕ] = 1 ∫ d 2 f ϕ(⃗x) . (17.12) 4πR 2 ∂K R,⃗y Da die harmonische Funktion ϕ(⃗x) gleich ihrem Mittelwert auf umhüllenden Kugelflächen ist, nimmt sie ihr Minimum und Maximum auf dem Rand jedes Gebietes V an, in dem sie harmonisch ist. Insbesondere hat ein elektrostatisches Potential im ladungsfreien Gebiet keine Mulde, es gibt keine elektrostatische Falle für geladene Teilchen. Eine leitende Oberfläche ist nach Abklingen aller Ströme eine Äquipotentialfläche. Umschließt sie ein ladungsfreies Gebiet, so ist das Potential auch im Inneren konstant, denn es hat Werte zwischen dem Minimum und Maximum, das auf dem Rand angenommen wird. Folglich verschwindet in einem Faraday-Käfig die elektrische Feldstärke. Verschwindet auf ∂V die Normalenableitung n i ∂ i ϕ einer harmonischen Funktion, ∫ ∫ ∫ ∫ 0 = − d 3 xϕ∆ϕ = d 3 x∂ i ϕ ∂ i ϕ − d 2 f n i ϕ ∂ i ϕ = d 3 x ∑ (∂ i ϕ) 2 , (17.13) V V ∂V so verschwindet ∂ i ϕ in V und ϕ ist konstant. Demnach ist jede Lösung der Poisson-Gleichung durch ρ und ihre Werte auf dem Rand festgelegt. Denn die Differenz zweier Lösungen mit gleichem ρ und gleichen Randwerten ist eine Lösung der Laplace-Gleichung, die auf dem Rand verschwindet und folglich im Inneren verschwindet, V ∆φ = −ρ , ∆χ = −ρ , φ |∂V = χ |∂V = f , ∆(φ − χ) = 0 , (φ − χ) |∂V = 0 , ⇒ φ − χ = 0 . (17.14) Durch ihre Normalenableitung auf dem Rand ist jede Lösung bis auf eine Konstante festgelegt, denn die Differenz zweier Lösungen mit gleichen Normalenableitungen hat verschwindende Normalenableitung und ist konstant. Weil ϕ 2 und (∂ i ϕ) 2 nicht negativ sind, zeigt (17.13) auch, daß auf Gebieten ohne Rand der Laplace-Operator keine positiven Eigenwerte hat, ∆ϕ = λϕ ⇒ λ ≤ 0 . Greenfunktion An der Darstellung (17.10) der zweifach stetig differenzierbaren Funktion φ ist unbefriedigend, daß sie von φ und ⃗n · gradφ auf dem Rand Gebrauch macht, daß aber bei gegebenem ∆φ schon die Angabe der Randwerte von φ oder der Randwerte von ⃗n · gradφ die Funktion φ eindeutig oder bis auf eine Konstante festlegt. Eine Darstellung von φ, in der nur die Werte von ∆φ und die Randwerte von φ auftreten, erhalten wir mit Hilfe des Potentials G(⃗x,⃗y) am Ort ⃗x, das von einer Einheitsladung am Ort ⃗y in einem Raum V erzeugt wird, dessen Randflächen geerdet sind, G(⃗x,⃗y) |⃗x∈∂V = 0. Diese Funktion G ist nach George Green (1793 – 1841) [18] benannt. Auch bei anderen linearen, inhomogenen Differentialgleichungen gewinnt man die Lösung für beliebige Inhomogenität aus der zugehörigen Greenfunktion, das ist die Lösung
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denn sie wird mit einem konstanten Faktor 1/R integriert. Es verbleibt <strong>der</strong> Mittelwert<br />
M R,⃗y [ϕ] von ϕ auf <strong>der</strong> Kugelfläche um ⃗y mit Radius R<br />
ϕ(⃗y) = M R,⃗y [ϕ] = 1 ∫<br />
d 2 f ϕ(⃗x) . (17.12)<br />
4πR 2 ∂K R,⃗y<br />
Da die harmonische Funktion ϕ(⃗x) gleich ihrem Mittelwert auf umhüllenden Kugelflächen<br />
ist, nimmt sie ihr Minimum <strong>und</strong> Maximum auf dem Rand jedes Gebietes V an, in<br />
dem sie harmonisch ist. Insbeson<strong>der</strong>e hat ein elektrostatisches Potential im ladungsfreien<br />
Gebiet keine Mulde, es gibt keine elektrostatische Falle für geladene Teilchen.<br />
Eine leitende Oberfläche ist nach Abklingen aller Ströme eine Äquipotentialfläche.<br />
Umschließt sie ein ladungsfreies Gebiet, so ist das Potential auch im Inneren konstant,<br />
denn es hat Werte zwischen dem Minimum <strong>und</strong> Maximum, das auf dem Rand angenommen<br />
wird. Folglich verschwindet in einem Faraday-Käfig die elektrische Feldstärke.<br />
Verschwindet auf ∂V die Normalenableitung n i ∂ i ϕ einer harmonischen Funktion,<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
∫<br />
0 = − d 3 xϕ∆ϕ = d 3 x∂ i ϕ ∂ i ϕ − d 2 f n i ϕ ∂ i ϕ = d 3 x ∑ (∂ i ϕ) 2 , (17.13)<br />
V<br />
V<br />
∂V<br />
so verschwindet ∂ i ϕ in V <strong>und</strong> ϕ ist konstant.<br />
Demnach ist jede Lösung <strong>der</strong> Poisson-Gleichung durch ρ <strong>und</strong> ihre Werte auf dem Rand<br />
festgelegt. Denn die Differenz zweier Lösungen mit gleichem ρ <strong>und</strong> gleichen Randwerten<br />
ist eine Lösung <strong>der</strong> Laplace-Gleichung, die auf dem Rand verschwindet <strong>und</strong> folglich im<br />
Inneren verschwindet,<br />
V<br />
∆φ = −ρ , ∆χ = −ρ , φ |∂V = χ |∂V = f ,<br />
∆(φ − χ) = 0 , (φ − χ) |∂V = 0 , ⇒ φ − χ = 0 .<br />
(17.14)<br />
Durch ihre Normalenableitung auf dem Rand ist jede Lösung bis auf eine Konstante<br />
festgelegt, denn die Differenz zweier Lösungen mit gleichen Normalenableitungen hat<br />
verschwindende Normalenableitung <strong>und</strong> ist konstant.<br />
Weil ϕ 2 <strong>und</strong> (∂ i ϕ) 2 nicht negativ sind, zeigt (17.13) auch, daß auf Gebieten ohne<br />
Rand <strong>der</strong> Laplace-Operator keine positiven Eigenwerte hat, ∆ϕ = λϕ ⇒ λ ≤ 0 .<br />
Greenfunktion<br />
An <strong>der</strong> Darstellung (17.10) <strong>der</strong> zweifach stetig differenzierbaren Funktion φ ist unbefriedigend,<br />
daß sie von φ <strong>und</strong> ⃗n · gradφ auf dem Rand Gebrauch macht, daß aber<br />
bei gegebenem ∆φ schon die Angabe <strong>der</strong> Randwerte von φ o<strong>der</strong> <strong>der</strong> Randwerte von<br />
⃗n · gradφ die Funktion φ eindeutig o<strong>der</strong> bis auf eine Konstante festlegt.<br />
Eine Darstellung von φ, in <strong>der</strong> nur die Werte von ∆φ <strong>und</strong> die Randwerte von φ<br />
auftreten, erhalten wir mit Hilfe des Potentials G(⃗x,⃗y) am Ort ⃗x, das von einer Einheitsladung<br />
am Ort ⃗y in einem Raum V erzeugt wird, dessen Randflächen geerdet sind,<br />
G(⃗x,⃗y) |⃗x∈∂V = 0. Diese Funktion G ist nach George Green (1793 – 1841) [18] benannt.<br />
Auch bei an<strong>der</strong>en linearen, inhomogenen Differentialgleichungen gewinnt man die Lösung<br />
für beliebige Inhomogenität aus <strong>der</strong> <strong>zu</strong>gehörigen Greenfunktion, das ist die Lösung