Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

176 17 Potentialtheorie
Das Integral über den ersten Term verschwindet im Grenzfall ǫ → 0,
∫
d 2 1
⃗f · gradφ(⃗x) = 1 ∫
d 2 ⃗f · gradφ(⃗x) → 0 , (17.7)
∂K ǫ
|⃗x − ⃗y| ǫ ∂K ǫ
denn nach dem Integralmittelwertsatz ist es gleich einem Wert von ⃗n · gradφ an einer
Stelle der Kugelfläche mal der Größe der Kugelfläche 4πǫ 2 geteilt durch ǫ.
Im zweiten Term des Integranden ist das Skalarprodukt das Negative des Produkts der
Beträge. Nach dem Mittelwertsatz gilt für eine Zwischenstelle ⃗z auf der Kugelfläche ∂K ǫ
∫
d 2 ⃗x − ⃗y
⃗f
∂K ǫ
|⃗x − ⃗y| φ(⃗x) = − 1 ∫
d 2 f φ(⃗x) = − 4πǫ2 φ(⃗z) . (17.8)
3 ǫ 2 ∂K ǫ
ǫ2 Da ⃗z für ǫ gegen Null gegen den Mittelpunkt ⃗y von K ǫ strebt, geht das Integral über ∂K ǫ
dabei gegen −4πφ(⃗y) .
Insgesamt erhalten wir also
∫
V
d 3 1
x
|⃗x − ⃗y|
∫∂V
∆φ(⃗x) = d 2 ⃗f · ( 1
|⃗x − ⃗y|
und nach φ(⃗y) aufgelöst
gradφ(⃗x) +
φ(⃗y) = − 1 ∫
d 3 x ∆φ(⃗x)
4π V |⃗x − ⃗y| + 1 ∫
d 2 ⃗f · ( 1
4π ∂V |⃗x − ⃗y|
⃗x − ⃗y
|⃗x − ⃗y| 3 φ(⃗x) ) − 4πφ(⃗y) (17.9)
gradφ(⃗x) +
⃗x − ⃗y
|⃗x − ⃗y| 3 φ(⃗x)) . (17.10)
Jede in V zweifach stetig differenzierbare Funktion φ ist durch ∆φ und ihre Randwerte
auf ∂V festgelegt.
Da das elektrostatische Potential einer räumlich beschränkten Ladungsverteilung für
große Abstände verschwindet und sein Gradient schneller als 1/r gegen Null geht, verschwinden
für V = R 3 die Randterme. Folglich löst (14.22) für inselförmige Ladungsverteilungen
die Poisson-Gleichung.
Harmonische Funktionen
Als harmonisch bezeichnet man Funktionen ϕ eines Gebietes V, die dort die Laplace-
Gleichung ∆ϕ = 0 erfüllen. Beispielsweise ist das elektrostatische Potential im ladungsfreien
Raum harmonisch. Für harmonische Funktionen ϕ verschwindet nach dem Gaußschen
Satz das Oberflächenintegral über die Normalenableitung,
∫
∫
d 2 ⃗f · gradϕ = d 3 x∂ i ∂ i ϕ = 0 . (17.11)
∂V
Für einen inneren Punkt ⃗y im Gebiet V betrachten wir eine Kugel K R,⃗y ⊂ V um ⃗y
mit einem Radius R . Die Darstellung (17.10) zweifach stetig differenzierbarer Funktionen
gilt auch für V = K R,⃗y . Dabei verschwindet, weil ϕ in K R,⃗y harmonisch ist, das
Volumenintegral und auch das Oberflächenintegral über die Normalenableitung von ϕ,
V