Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

16 Viererpotential
Vektorpotential
Die Maxwellgleichung div ⃗B = 0 gilt in sternförmigen Gebieten nach dem Lemma von
Poincaré (15.40) genau dann, wenn das Magnetfeld die Rotation eines Vektorpotentials ⃗A
ist,
⃗B = rot ⃗A . (16.1)
Beispielsweise ergibt die Rotation des folgenden Vektorpotentials (15.48) das divergenzfreie
Magnetfeld ⃗B
∫ 1
⃗A(⃗x) = − dλ λ⃗x × ⃗B(λ⃗x) . (16.2)
0
Hierbei wird ⃗x×⃗B(⃗x) längs des Strahls vom Ursprung zum Punkt ⃗x integriert, also unterstellt,
daß alle Punkte des Gebietes, in dem ⃗B definiert ist, mit Strahlen vom Ursprung
erreichbar sind, eben, daß das Definitionsgebiet von ⃗B sternförmig ist.
Zur Bestätigung berechnen wir die dritte Komponente der Rotation von ⃗A(⃗x) . Dabei
ziehen wir die Differentation unter das Integral und berücksichtigen die Kettenregel,
∂ x i⃗B(⃗z(⃗x)) = ∂zj
∂x ∂ ⃗ i jB |⃗z(⃗x) . (16.3)
Für ⃗z(⃗x) = λ⃗x gilt insbesondere ∂ x i⃗B(λ x) = λ ∂ i
⃗B |λ⃗x . Für (rot ⃗A) z erhalten wir
∫ 1
(
∂ x A y − ∂ y A x = − dλ λ
(∂ x z Bx (λ⃗x) − xB z (λ⃗x) ) (
− ∂ y y Bz (λ⃗x) − z B y (λ⃗x) ))
0
∫ 1 )
= − dλ λ
(z λ ∂ 1 B x − B z − xλ∂ 1 B z − B z − y λ ∂ 2 B z + z λ ∂ 2 B y .
0
Wegen div ⃗B = 0 ist −∂ 1 B x − ∂ 2 B y = ∂ 3 B z
∫ 1
0
= dλ λ ( )
λ z ∂ 3 B z + λ x∂ 1 B z + λ y ∂ 2 B z + 2B z
∫ 1
= dλ ( ∫
) 1
λ 2 (x∂ 1 + y ∂ 2 + z ∂ 3 )B z + 2 λ B z = dλ ∂ (
λ 2 B z (λ⃗x) )
0
0 ∂λ
= λ 2 B z (λ⃗x) ∣ λ=1
= B λ=0 z(⃗x) . (16.4)
Der Leser bestätige übungshalber, daß auch die x- und y-Komponenten von rot ⃗A und ⃗B
übereinstimmen.
Demnach sind mit (16.1) alle Lösungen der ersten homogenen Maxwellgleichung erfaßt.