Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

8 1 Vektorräume
Der Winkel α ist die Länge des Kreisbogens, geteilt durch den Radius. Da ein Kreis
mit Radius r einen Umfang 2πr hat, ist er ein Kreisbogen mit Winkel 2π. Das sind 360
Winkelgrade, demnach ist ein Grad die Zahl
Skalarprodukt
360 ◦ = 2π , 1 ◦ = π ≈ 0,0174533 . (1.33)
180
Die Länge der Summe zweier Vektoren ⃗a und ⃗b, die den Winkel α = ∢(⃗a,⃗b) einschließen,
lesen wir aus der Abbildung 1.3 ab.
⃗a + ⃗b
In ihr ist ⃗a + ⃗b die Hypothenuse eines
|⃗b| sin α ⃗b
rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten der
Längen |⃗a|+|⃗b| cosα und |⃗b| sin α. Nach dem
⃗a |⃗b| cosα
Satz des Pythagoras und wegen der Summenregel
(1.32) gilt der Abbildung 1.3: Länge von ⃗a + ⃗b
Cosinus-Satz
(⃗a + ⃗b) 2 = (|⃗a| + |⃗b| cosα) 2 + (|⃗b| sin α) 2 = |⃗a| 2 + |⃗b| 2 + 2|⃗a||⃗b| cosα . (1.34)
Andererseits ist das Längenquadrat in jeder Orthonormalbasis die Summe der Quadrate
der Komponenten (1.31)
(⃗a + ⃗b) 2 = (a i + b i )(a i + b i ) = a i a i + b i b i + 2a i b i = |⃗a| 2 + |⃗b| 2 + 2a i b i . (1.35)
Also ist die Summe a i b i der Produkte der Komponenten a i und b i bezüglich einer
Orthonormalbasis gleich dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels mal den Beträgen
der Vektoren. Diese Summe nennt man das Skalarprodukt von ⃗a und ⃗b ,
⃗a ·⃗b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + . . . , (1.36)
⃗a ·⃗b = |⃗a||⃗b| cosα ,
cos(∢(⃗a,⃗b)) =
⃗a ·⃗b
|⃗a||⃗b|
. (1.37)
Den Cosinus des eingeschlossenen Winkels zweier Vektoren kann man mit dem Skalarprodukt
(1.36) mit den Grundrechenarten berechnen: Multiplizieren, Addieren und
Wurzelziehen beim Berechnen der Beträge.
Das Skalarprodukt zweier von Null verschiedener Vektoren verschwindet genau dann,
wenn sie senkrecht zueinander stehen, also einen Winkel von 90 ◦ = π/2 einschließen.
Mit Hilfe des Skalarprodukts kann man leicht jeden Vektor ⃗a in seine Anteile parallel
und senkrecht zu einer Richtung ⃗n, ⃗n 2 = 1, zerlegen,
⃗a = ⃗a ‖ + ⃗a ⊥ , ⃗a ‖ = ⃗n(⃗n ·⃗a) , ⃗a ⊥ = ⃗a − ⃗n(⃗n · ⃗a) . (1.38)
Das Skalarprodukt in einem reellen Vektorraum ist reell, symmetrisch und bilinear.
⃗a ·⃗b = ⃗b ·⃗a
⃗a ·(λ 1
⃗b + λ 2 ⃗c) = λ 1 ⃗a ·⃗b + λ 2 ⃗a ·⃗c
(1.39)