Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

168 15 Differentialformen
Durch die zusätzliche Angabe eines Vorzeichens, ob es sich bei dem Simplex um Raum
oder Hohlraum handelt, wird diese Punktmenge orientiert. Wir kodieren das Vorzeichen
durch die Reihenfolge der Eckpunkte und vereinbaren, daß (P π(1) , P π(2) , . . .,P π(n) ) bei
einer ungeraden Permutation π Hohlraum bezeichnet, wenn (P 0 , P 1 , . . .,P n ) Raum ist,
(P π(1) , P π(2) , . . ., P π(n) ) = sign(π) (P 0 , P 1 , . . ., P n ) . (15.51)
Das Volumen ist translationsinvariant und das 1/n!-fache des entsprechenden Quadervolumens
vol(P 0 , P 1 , P 2 , . . ., P n ) = vol(0, P 1 − P 0 , P 2 − P 0 , . . .P n − P 0 )
= 1 n! (P 1 − P 0 ) ∧ (P 2 − P 0 ) ∧ . . . ∧ (P n − P 0 ) .
(15.52)
Da das Volumenprodukt in jedem Faktor linear (2.19) und in jedem Paar alternierend ist
P i ∧P j = −P j ∧P i (2.16) (mit der Folge P ∧P = 0 (2.11)), beträgt das Simplexvolumen
n! vol(P 0 , P 1 , P 2 , . . ., P n ) = P 1 ∧ P 2 . . . ∧ P n − P 0 ∧ P 2 . . . ∧ P n ± . . .
n∑
= (−1) i (15.53)
P 0 ∧ P 1 ∧ . . .P i−1 ∧ P i+1 . . . ∧ P n
i=0
und wechselt bei jeder Paarvertauschung von Ecken sein Vorzeichen, wie es wegen der
linken Seite und (15.51) sein muß, wenn das Volumen von vorzeichenbehafteten Summen
gleich der vorzeichenbehafteten Summe der einzelnen Volumina ist.
Entsprechend hat ein (n − 1)-Simplex die translationsinvariante Flächengröße
(n − 1)! vol(P 1 , P 2 , . . .P n ) = (P 2 − P 1 ) ∧ (P 3 − P 1 ) . . . ∧ (P n − P 1 ) . (15.54)
Jeder Ecke P i von S liegt ein (n − 1)-Randsimplex mit den verbleibenden Ecken
(P 0 , P 1 , . . .P i−1 , P i+1 , . . .P n ) gegenüber. In (15.50) sind dies die Punkte mit α i = 0.
Das orientierte Volumen von S orientiert seine Randflächen. Die Randfläche
S i = (−1) i (P 0 , P 1 , . . .P i−1 , P i+1 , . . .P n ) (15.55)
ist in dem Sinn nach außen gerichtet, daß jede nach außen gerichteten Stromdichte j
mit der Flächengröße von S i ein Volumen mit gleichem Vorzeichen wie der Simplex S
aufspannt. Denn ist Q ein Punkt auf der Randfläche S i , dann ist j = Q−P i nach außen
gerichtet und spannt mit vol(S i ) das Volumen j∧vol(S i ) = n vol(S) auf. Es gilt nämlich
(−1) i j ∧ (P 1 − P 0 ) ∧ . . .(P i−1 − P 0 ) ∧ (P i+1 − P 0 ) . . . ∧ (P n − P 0 )
= (P 1 − P 0 ) ∧ . . .(P i−1 − P 0 ) ∧ (−j) ∧ (P i+1 − P 0 ) . . . ∧ (P n − P 0 ) ,
(15.56)
weil die Stromdichte j mit (i − 1) Faktoren vertauscht wurde.
Von −j = (P i − P 0 ) − (Q − P 0 ) trägt (Q − P 0 ) nur das verschwindende Volumen eines
in der Ebene von S i liegenden, flachen n-Simplexes (P 0 , P 1 , . . .P i−1 , Q, P i+1 , . . .P n ) bei.
Der Term (P i −P 0 ) aus −j ergänzt den Faktor vol(S i ) zum n-fachen des Volumens von S .
Ersetzt man j = Q − P i durch Q − P, wobei P irgendein innerer Punkt von S ist, so
ändert dies nicht das Vorzeichen von j∧vol(S i ), da das Produkt erst verschwindet, wenn
P in der Ebene von S i liegt.