Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

166 15 Differentialformen
und antisymmetrisieren wir in m 0 , m 1 , . . .m p , so verschwinden alle Beiträge von zweiten
∂
Ableitungen 2 x ′n
und die antisymmetrisierte Ableitung wirkt als ∂
∂x m 0∂x m i m0 = ∂x′n 0
∂x m 0 ∂′ n 0
nur auf ω ′ n 1 ...n p
. Die Differentiale fassen wir mit dx m ∂x′n = dx ′ n (5.52) zusammen
∂x m
p! dω = dx m 0
dx m 1
. . .dx m p
∂ m0 ω m1 ...m p
= dx ′ n 0
dx ′ n 1
. . .dx ′ n p
∂ ′ n 0
ω ′ n 1 ...n p
. (15.36)
Man bestätigt leicht, daß d linear ist, auf Produkte von p- und q-Formen mit der
graduierten Produktregel wirkt,
d(ω (p) ˆω (q) ) = (dω (p) ) ˆω (q) + (−1) p ω (p) (d ˆω (q) ) , (15.37)
und nilpotent ist, weil die Doppelsumme über ein symmetrisches Indexpaar, hier ∂ m ∂ n =
∂ n ∂ m , mit einem antisymmetrischen Indexpaar dx m dx n = −dx n dx m verschwindet,
d 2 = dx m dx n ∂ m ∂ n = dx m dx n ∂ n ∂ m = −dx n dx m ∂ n ∂ m = −d 2 ,
Insbesondere enthält die Gleichung d 2 = 0 die Aussagen
Poincaré Lemma
d 2 = 0 . (15.38)
rotgrad = 0 , div rot = 0 . (15.39)
In sternförmigen Gebieten, die mit jedem Punkt x auch die Verbindungsstrecke λx,
0 ≤ λ ≤ 1, zum Ursprung enthalten, gilt das Poincaré-Lemma
dω = 0 ⇔ ω = konst + dα . (15.40)
Die Folgerung von rechts nach links ist selbstverständlich, denn die äußere Ableitung
einer konstanten Funktion verschwindet und d ist nilpotent.
Verschwindet umgekehrt die äußere Ableitung einer Nullform, so ist die Funktion
konstant. Diese von x und dx unabhängige Konstante ist nicht d einer anderen Form,
da sie kein dx enthält.
Für Eins- und Zweiformen in drei Dimensionen besagt das Poincaré-Lemma, daß in
sternförmigen Gebieten ein Vektorfeld, dessen Rotation verschwindet, ein Gradientenfeld
ist. Verschwindet seine Divergenz, so handelt es sich um die Rotation eines Vektorfeldes,
rot⃗F = 0 ⇔ ⃗F = − gradV , div ⃗B = 0 ⇔ ⃗B = rot ⃗A . (15.41)
V ist das zu ⃗F gehörige Potential, ⃗A das zu ⃗B gehörige Vektorpotential.
Um das Poincaré-Lemma zu beweisen, betrachten wir für p > 0 eine p-Form ω mit
dω = 0 und schreiben ω(x) als ein Integral längs des Strahls vom Ursprung nach x 1
ω m1 ...m p
(x) =
∫ 1
0
dλ d dλ(
λ p ω m1 ...m p
(λx) ) . (15.42)
1 In λ p ist p der Exponent, in x m bezeichnet m Komponenten.