Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

164 15 Differentialformen
Das Integral ∫ ω hängt also weder vom Koordinatensystem ab noch von der Parametrisierung,
sondern nur von der Untermannigfaltigkeit F selbst und der p-Form ω. Es
F
ist auch keine Metrik zur Messung von Kantenlängen und Winkeln erforderlich.
Beispielsweise ist
ω (1) = F 1 dx 1 + F 2 dx 2 + F 3 dx 3 (15.21)
eine Einsform. Das Wegintegral über einen Weg f : t ↦→ (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) ergibt die
Arbeit
∫
ω (1) = dt dfi
dt F i(f(t)) , (15.22)
die längs des Weges f von f(t) nach f(t) geleistet wird.
Ebenso ergibt das Integral über die Zweiform
f
∫ t
t
ω (2) = j 1 dx 2 dx 3 − j 2 dx 1 dx 3 + j 3 dx 1 dx 2 (15.23)
über eine Fläche F, die durch Φ : D ⊂ R 2 → R 3 , (s 1 , s 2 ) ↦→ x(s 1 , s 2 ) parametrisiert sei,
den zur Stromdichte⃗j gehörigen Strom durch F,
∫ ∫
ω (2) = d 2 sj 1 (x(s)) ( ∂x 2 ∂x 3
F D=Φ −1 F ∂s 1 ∂s − ∂x3 ∂x 2 )
+ . . . = d 2 ∂s 1 ∂s
∫D
2 ∂⃗x
s⃗j ·( 2 ∂s × ∂⃗x )
.
1 ∂s 2 (15.24)
Ersetzt man hier die Stromdichte ⃗j durch die magnetische oder elektrische Feldstärke,
so erhält man den magnetischen oder elektrischen Fluß durch die Fläche F.
Das Integral über eine 3-Form über ein 3-dimensionales Volumen V ⊂ R 3 ist vergleichsweise
einfach, da
ω (3) = ρ dxdydz = ρ d 3 x (15.25)
nur eine Komponentenfunktion, die Dichte ρ, hat
∫
V
∫
ω (3) =
V
d 3 xρ(x) . (15.26)
Ist in der vierdimensionalen Raumzeit eine dreidimensionale Hyperfläche F (14.43)
durch die Abbildung Φ : ⃗x ↦→ (t(⃗x),⃗x) der Grundfläche A ⊂ R 3 gegeben, dann ist beim
Integral über F über eine Dreiform
ω (3) = j 0 dx 1 dx 2 dx 3 − j 1 dx 0 dx 2 dx 3 + j 2 dx 0 dx 1 dx 3 − j 3 dx 0 dx 1 dx 2 , (15.27)
das Differential dx 0 = ∑ 3
i=1 dxi ∂ i t. Folglich ist ∫ F ω(3) das Integral über den Bereich A
über den Integranden (14.43)
(
j 0 − ∂ 1 t j 1 − ∂ 2 t j 2 − ∂ 3 t j 3) dx 1 dx 2 dx 3 , (15.28)
wobei die Komponentenfunktionen j m am Argument (t(⃗x),⃗x) zu nehmen sind.