Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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zusammen (5.44). Mit dx ′ m ∂xn
∂x ′m = dx n (5.52) zeigt sich, daß die unterschiedlichen Komponentenfunktionen
dieselbe p-Form definieren,
ω ′ m 1 m 2 ...m p
(x ′ ) dx ′m 1
dx ′ m 2
. . .dx ′ m p
= ω n1 n 2 ...n p
(x(x ′ )) dx n 1
dx n 2
. . .dx n p
. (15.14)
Inhalte von Untermannigfaltigkeiten
Jedes p-Formfeld ω definiert den Integranden eines Integrals über p-dimensionale Untermannigfaltigkeiten
F ⊂ M, den ω-Inhalt von F, wobei F durch eine invertierbare Abbildung
Φ : (s 1 , s 2 , . . ., s p ) ↦→ x(s) eines p-dimensionalen Parameterbereiches D ⊂ R p
auf F = Φ(D) gegeben sei,
∫
F
∫
ω =
D=Φ −1 (F)
d p s 1 p! ǫi 1i 2 ...i p
∂x m 1
∂s i 1
∂x m 2
∂s i 2
. . . ∂xm p
∂s i p ω m 1 m 2 ...m p
(x(s)) . (15.15)
Auf der rechten Seite ist x als Funktion der Parameter s i , i = 1, . . ., p, aufgefaßt und
dx m = ∂xm ds i (5.52) als Parameterdifferential. Wegen ds i ds j = −ds j ds i (15.12) ist das
∂s i
p-fache Produkt von Differentialen ds i total antisymmetrisch und daher
ds i 1
ds i 2
. . .ds i p
= ǫ i 1i 2 ...i p
ds 1 ds 2 . . .ds p = ǫ i 1i 2 ...i p
d p s . (15.16)
Das Integral (15.15) hängt nicht von der Parametrisierung der Untermannigfaltigkeit F
ab. Ist nämlich x m (s ′ (s)) durch Parameter s ′ parametrisiert, die ihrerseits invertierbar
von s abhängen, dann gilt
∂
∂s ixm (s ′ (s)) = ∂s′ j
∂s i ∂x m
∂s ′ j . (15.17)
Da (3.35)
ǫ i 1i 2 ...i p
∂s ′ j 1
∂s i 1
( )
∂s ′ j 2
∂s . . . ∂s′ j p
i 2 ∂s = det ∂s′ ǫ j 1j 2 ...j p
(15.18)
i p
∂s
die Jacobideterminante der Reparametrisierung ergibt und nach dem Integralsubstitutionssatz
(12.74)
∫ ) ∫
d p s
(det ∂s′ f(s ′ (s)) = d p s ′ f(s ′ ) , (15.19)
∂s
D ′ =s ′ (D)
D
ist das Integral (15.15) über den Bereich D der Parameter s dem Integral
∫
d p s ′ 1
D p! ǫj 1j 2 ...j p
∂x m 1
∂x m 2
∂s ′ ′ j 1 ∂s . . . ∂xm p
′ j 2 ∂s ω ′ j m
p 1 m 2 ...m p
(x(s ′ )) (15.20)
über den Bereich D ′ = s ′ (D) der Parameter s ′ gleich. (Genauer bedacht ist bei Mannigfaltigkeiten,
die sich nur mit mehreren Parameterbereichen überdecken lassen, erforderlich,
daß sie orientierbar sind, daß also überall und stetig definiert ist, welches p-Volumen
positiv ist.)