Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Es ist nach dem Gaußschen Satz dem Integral über die Randflächen A und F gleich,
wobei aber A nicht beiträgt, da die Anfangswerte verschwinden. Folglich verschwindet
das Integral über die Fläche F , die wir durch die Koordinaten ⃗y des Bereichs A und
durch Φ : ⃗y ↦→ (t(⃗y),⃗y) parametrisieren (15.28),
∫
∫
d 3 y (u(t(⃗y),⃗y) − ∂ i t(⃗y) S i (t(⃗y),⃗y)) = d 3 y (w 0 u − ⃗w ·⃗S)(t(⃗y),⃗y)) = 0 . (14.43)
A
Da aber w = (1, ∂ x t, ∂ y t, ∂ z t) überall auf F zukunftsgerichtet und zeitartig ist, ist der
Integrand nicht negativ und das Integral verschwindet nur, falls ⃗E und ⃗B überall auf
F verschwinden. Demnach verschwinden die Feldstärken im betrachteten Punkt (t ′ ,⃗y),
und, da er beliebig gewählt war, im Inneren des Abhängigkeitsgebietes G. Aus Stetigkeitsgründen
verschwinden die Feldstärken dann in ganz G.
Zusammen genommen zeigt dies: die Lösung der Maxwellgleichungen ist bei Vorgabe
der Ladungs- und Stromdichten eindeutig durch die Anfangswerte zu einer festen Zeit
bestimmt. Die Feldstärken hängen zur Zeit t > 0 am Ort ⃗x nur von den Anfangswerten
im Rückwärtslichtkegel von (t,⃗x) ab und von den Ladungs- und Stromdichten in dem
Gebiet, das vom Rückwärtslichtkegel und der Anfangsfläche berandet wird.
Änderungen der Anfangsbedingungen oder der Ladungs- und Stromdichten wirken
sich daher nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit aus.
Gaußsche Schachtel
Wenn zwei Materialien an einer Fläche aneinander grenzen und Felder dort unstetig sein
können, dann ist, wenn die Divergenz eines Feldes ⃗E stetig ist, die Normalenkomponente
von ⃗E an der Grenzfläche stetig.
Dies ergibt die Betrachtung einer sogenannten Gaußschen Schachtel. Das ist ein niedriger
Zylinder, dessen Deckenfläche parallel zur Grenzfläche in dem einen Material verläuft,
während die Bodenfläche im anderen Material verläuft. Macht man die Schachtel
niedriger und niedriger, verschwindet mit der Höhe des Zylinders das Volumenintegral
über div⃗E, ebenso die Beiträge der Mantelflächen zum Integral über die Randflächen des
Zylinders. Da dieses Integral insgesamt verschwindet, heben sich die Beiträge der Bodenund
Deckenfläche, deren Normalenvektoren entgegengesetzt sind, gegenseitig auf,
A
div⃗E stetig : d 2 ⃗f ·(⃗E innen − ⃗E außen ) = 0 , ⃗E normal, innen = ⃗E normal, außen . (14.44)