Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

158 14 Maxwellgleichungen
Formuliert man, wie wir ohne Beweis angeben, die Maxwellgleichungen als Stationaritätsbedingung
einer lokalen Wirkung, so ergibt sich die Kontinuitätsgleichung für die
Impulsdichten aus der Translationsinvarianz der Wirkung. Aus ihr folgt, daß der Impulsübertrag
vom elektromagnetischen Feld auf geladene Teilchen durch (14.37) gegeben ist,
daß also das elektrische und magnetische Feld die Lorentzkraft bewirken, wenn Energie
und Impuls von Feldern und Teilchen insgesamt erhalten sind.
Abhängigkeitsgebiet
Die elektrodynamischen Feldstärken zur Zeit t > 0 am Ort ⃗x hängen nur von den
Ladungen und Strömen und Anfangswerten zur Zeit t = 0 in dem Abhängigkeitsgebiet G
ab, das vom Rückwärtslichtkegel von (t,⃗x), das sind die Punkte (t ′ ,⃗y) mit t−t ′ = |⃗x−⃗y|,
und der raumartigen Anfangsfläche A berandet wird, die vom Rückwärtslichtkegel aus
der Schicht t = 0 ausgeschnitten wird [6],
G = {(t ′ ,⃗y) : 0 ≤ t ′ ≤ t , |⃗x − ⃗y| ≤ t − t ′ } , A = {(0,⃗y) : |⃗x − ⃗y| ≤ t} . (14.38)
Stimmen nämlich bei zwei Lösungen die Ladungen und Ströme in G überein und sind
die anfänglichen Werte der Feldstärken ⃗E und ⃗B der beiden Lösungen auf der Anfangsfläche
A gleich, so erfüllt die Differenz beider Lösungen die Maxwellgleichungen mit
Ladungen und Strömen, die in G verschwinden und mit Anfangswerten, die ebenfalls
verschwinden. Solch eine Lösung muß aber, wie wir jetzt zeigen, in G verschwinden.
Zum Beweis bemerken wir, daß die Energiedichte u nirgends kleiner ist als der Betrag
der Energiestromdichte ⃗S,
u = 1 2( ⃗ E 2 + ⃗B 2) ≥ |⃗E × ⃗B| = |⃗S| , (14.39)
denn wegen (|⃗E| − |⃗B|) 2 ≥ 0 gilt (|⃗E| 2 + |⃗B| 2 ) ≥ 2|⃗E| |⃗B|, zudem ist |⃗E| |⃗B| ≥ |⃗E × ⃗B|. Daher
ist für alle zukunftsgerichtete, zeitartige Vierervektoren w = (w 0 , ⃗w) mit w 0 > |⃗w| die
Dichte w 0 u − ⃗w ·⃗S nicht negativ,
(t,⃗x)
w 0 u − ⃗w ·⃗S ≥ w 0 u − |⃗w| |⃗S| ≥ (w 0 − |⃗w|) u ≥ 0 , (14.40)
F
.
. . . . . . . und verschwindet nur, wenn die Energiedichte u mit den Feldstärken
verschwindet.
.
. V .
.
A Betrachten wir nun einen inneren Punkt (t ′ ,⃗y) des Abhängigkeitsgebietes
G. Er liegt in einer raumartigen, dreidimensionalen
Abbildung 14.1: Abhängigkeitsgebiet
G
Hyperfläche
F = {(t(⃗y),⃗y) : t(⃗y) ≥ 0 ,⃗y ∈ A} , (14.41)
die zusammen mit der Anfangsfläche A ein Gebiet V ⊂ G ⊂ R 4 berandet. Da F überall
raumartig ist, gilt ∂ i t ∂ i t < 1. Integrieren wir ∂ t u + div⃗S über V, so verschwindet das
Integral, weil der Integrand bei verschwindenden Stromdichten Null ist (14.32),
∫
d 4 x∂ t u + div⃗S = 0 . (14.42)
V