Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

156 14 Maxwellgleichungen
unverändert abgegrenzt hat, nur dadurch im Laufe der Zeit ändert, daß durch die Oberfläche
∂V Ströme fließen, deren Bilanz nicht ausgeglichen ist. Dies folgert man aus der
Kontinuitätsgleichung durch Integration über das Volumen V mit dem Gaußschen Integralsatz
∫
Q V (t) = d 3 xρ(t,⃗x) , (14.27)
V
∫ ∫ ∫
d
dt Q V(t) = d 3 x ˙ρ = − d 3 x div⃗j = − d 2 ⃗f ·⃗j . (14.28)
V
V
∂V
Insbesondere kann zu keiner Zeit eine einzelne Punktladung aus dem Vakuum entstehen.
Ebenso ist ein Elektron nicht im Laufe der Zeit mehr oder weniger geladen.
Kontinuitätsgleichung für Energie und Impuls
Aus den Maxwellgleichungen folgt nicht nur die Kontinuitätsgleichung für die elektrische
Ladungsdichte, sondern auch für die Energie- und Impulsdichte, die zu elektromagnetischen
Feldern gehören.
Formen wir die Zeitableitung der Größe
u = 1 2 ( ⃗E 2 + ⃗B 2 ) (14.29)
mit den Maxwellgleichungen um, und berücksichtigen wir dabei
⃗E · rot⃗B−⃗B · rot⃗E = ǫ ijk
(
E i ∂ j B k −B i ∂ j E k) = −∂ i
(
ǫijk E j B k) = − div ( ⃗E×⃗B ) , (14.30)
so erhalten wir
⃗E · ˙⃗E + ⃗B · ˙⃗B = ⃗E ·(rot⃗B −⃗j) − ⃗Brot⃗E = − div(⃗E × ⃗B) − ⃗E ·⃗j , (14.31)
mit
∂
∂t u + div ⃗S = −⃗E ·⃗j , (14.32)
⃗S = ⃗E × ⃗B . (14.33)
Das ist für verschwindende Ladungsstromdichte⃗j eine Kontinuitätsgleichung.
Um die Bedeutung der Größen u und des Poynting-Vektors ⃗S zu klären, denken wir
uns die Stromdichte⃗j = ρ⃗v durch eine Ladungsdichte ρ gegeben, die sich mit Geschwindigkeit
⃗v bewegt, und integrieren ⃗E ·ρ d⃗x über ein kleines Gebiet und eine kurze Zeit.
dt
Solch ein Integral ergibt nach Zwischenwertsatz die Ladung q in dem kleinen Gebiet mal
⃗E · d⃗x, also die in der Zeit dt an der Ladung q durch Verschiebung um d⃗x verrichtete
Arbeit. Diese Energie wird dem elektromagnetischen Feld entzogen, wenn die Energie
insgesamt erhalten ist. Dies rechtfertigt, u als Energiedichte und den Poynting-Vektor ⃗S
als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes anzusehen.