Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Demnach ist das Potential außerhalb eines Punktteilchens mit Ladung q, das im Ursprung
ruht, das Coulombpotential φ(⃗x) =
q . Befindet sich das Teilchen bei ⃗y, so
4π|⃗x|
q
gehört dazu das verschobene Potential φ(⃗x) = . Das Potential mehrerer Punktladungen
erhält man als Summe der Potentiale der einzelnen Ladungen, denn die Max-
4π|⃗x−⃗y|
wellgleichungen sind linear inhomogen
φ(⃗x) = 1 ∑ q i
4π |⃗x − ⃗y i | . (14.21)
i
Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung ρ(⃗y) geht dies in die kontinuierliche Summe
über, nämlich in das Integral
φ(⃗x) = 1 ∫
d 3 y ρ(⃗y) . (14.22)
4π |⃗x − ⃗y|
Dieses Potential erfüllt, wie wir später zeigen, die Poisson-Gleichung
Hierbei ist ∆ der Laplace-Operator
∆φ = −ρ . (14.23)
∆ = div grad = ∂ 1 2 + ∂ 2 2 + ∂ 3 2 . (14.24)
Die homogene Poisson-Gleichung ∆u = 0 heißt Laplace-Gleichung, ihre Lösungen u heißen
harmonische Funktionen. In ladungsfreien Gebieten ist das elektrostatische Potential
eine harmonische Funktion.
Kontinuitätsgleichung der elektromagnetischen Ladung
Addiert man die Zeitableitung und die Divergenz der inhomogenen Maxwellgleichungen
(14.4),
∂ t div⃗E + div(rot⃗B − ∂ t
⃗E) = ˙ρ + div⃗j (14.25)
so tragen wegen div rot = 0 und ∂ t div = div ∂ t die Feldstärken auf der linken Seite
der Gleichung nicht bei, und man erhält eine Differentialgleichung für die Ladungs- und
Stromdichte, die Kontinuitätsgleichung
˙ρ + div⃗j = 0 . (14.26)
Die Kontinuitätsgleichung schränkt denkbare Quellen ρ und⃗j für elektromagnetische
Felder ein. Es können in den Maxwellgleichungen nur solche Ladungs- und Stromdichten
auftreten, die der Kontinuitätsgleichung und damit lokaler Ladungserhaltung genügen.
Lokale Ladungserhaltung besagt mehr, als daß die Gesamtladung erhalten ist. Mit
Erhaltung der Gesamtladung wäre auch der nie beobachtete Vorgang verträglich, daß
Ladung im Labor verschwindet und gleichzeitig hinter dem Mond wieder erscheint. Lokale
Ladungserhaltung besagt, daß sich die Ladung in jedem Volumen V, das man zeitlich