Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

152 14 Maxwellgleichungen
Insbesondere ist nach dem Stokesschen Satz das zweidimensionale Integral über eine
Fläche F über die Rotation eines Vektorfeldes ⃗B dem Umlaufintegral über ⃗B längs der
Randkurve ∂F gleich. ∫ ∫
d 2 ⃗f · rot⃗B = d⃗s ·⃗B (14.7)
F
Die Randkurve wird, von einem benachbarten, inneren Flächenpunkt aus gesehen, wie
eine Rechtsschraube mit Vortrieb in Richtung des Flächennormalenvektors durchlaufen.
Nach dem Gaußschen Satz ist das Integral über ein dreidimensionales Volumen V
über die Divergenz eines Vektorfeldes ⃗E dem zweidimensionalen Flächenintegral über
die Randfläche ∂V mit nach außen gerichtetem Normalenvektor d 2 ⃗f mal ⃗E gleich,
∫ ∫
d 3 x div⃗E = d 2 ⃗f ·⃗E . (14.8)
V
Magnetfeld eines zylindersymmetrischen Stromfadens
Mit dem Satz von Stokes bestimmen wir das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Drahtes,
den wir der einfachen Geometrie wegen als gerade, unendlich lang und mit kreisförmigem
Querschnitt von einer homogenen Stromdichte ⃗j durchflossen vorgeben. Sie ist
invariant unter Drehungen um den Draht und unter Verschiebungen längs des Drahtes
und in geeigneten Koordinaten im Drahtinneren für x 2 + y 2 ≤ R 2
⎛ ⎞
⃗j(⃗x) = J 0
⎝0⎠ . (14.9)
πR 2 1
Außerhalb des Drahtes, für x 2 + y 2 > R 2 , verschwindet sie. Es bezeichnen hierbei J den
Gesamtstrom durch den Draht und 2R seinen Durchmesser.
Für diese Stromdichte suchen wir eine zeitunabhängige Lösung von div ⃗B = 0 und
rot⃗B =⃗j. Da die Stromdichte zylindersymmetrisch ist, untersuchen wir den Ansatz, daß
das Magnetfeld ebenfalls zylindersymmetrisch ist und in der Ebene quer zum Draht in
Richtung zunehmenden Polarwinkels zeigt,
⎛ ⎞
⃗B(⃗x) = ⃗e ϕ B( √ −y
1
x 2 + y 2 ) , ⃗e ϕ (⃗x) = √ ⎝ x⎠ . (14.10)
x2 + y 2 0
Wie groß der Betrag B( √ x 2 + y 2 ) des Magnetfeldes ist, folgt mit dem Stokesschen Satz.
Wenn wir ihn für konzentrische Kreisscheiben K r,z = {(x, y, z) : x 2 + y 2 ≤ r 2 } parallel
zur z-Ebene verwenden, können wir die beteiligten Integrale einfach auswerten, denn
die Integranden sind (stückweise) konstant. Das Flächenintegral über die Stromdichte
ergibt für r > R den Gesamtstrom J und für r < R nur den Anteil J r 2 /R 2 des Stroms,
der durch den Flächenanteil πr 2 des Drahtquerschnitts πR 2 fließt,
∫
∫ { r 2
d 2 ⃗f · rot⃗B = d 2 für r ≤ R
⃗f ·⃗j = J · R 2
K r,z K r,z
1 für r > R . (14.11)
∂F
∂V