Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

150 13 Wirkungsprinzip
Das ist der Energiesatz eines senkrecht im Keplerpotential fallendes Teilchen (10.78) mit
m = 2, 2R = α . Die (10.83) entsprechende Lösung ist, wenn wir zu den ursprünglichen
Bezeichnungen zurückkehren und y(x) parametrisch darstellen, die Zykloide
(
x(ϕ)
y(ϕ)
)
= R
(
ϕ − sin ϕ
cosϕ − 1
)
. (13.81)
Der Radius R der Zykloide, die wegen (13.80) am Startpunkt s = (0, 0) eine senkrechte
Tangente hat und durch den Zielpunkt p = (x, y), x > 0, y < 0, geht, ergibt sich aus
der Nullstelle 0 < ϕ < 2π von (cosϕ−1)/(ϕ−
sin ϕ) − y/x als R = x/(ϕ − sin ϕ) .
Um R graphisch zu bestimmen, zeichnet man
p die Strecke von s nach p und die Zykloide eines
unter der x-Achse rollenden Rades mit irgend
einem Radius. Sie schneidet die Strecke in einem
Verhältnis a zur Gesamtlänge der Strecke.
Abbildung 13.1: Brachistochrone
Die Zykloide des um 1/a vergrößerten Rades geht durch p und ist die gesuchte Brachistochrone.
Falls das Gefälle −y/x kleiner als 2/π ist, ist ϕ > π , und ein Teil der
Brachistochrone liegt niedriger als das Ziel p.
Die Zykloide ist auch die Tautochrone, das heißt die Bahnkurve im homogenen Gravitationsfeld,
auf der Schwingungen um die Ruhelage unabhängig von der Auslenkung
gleich lang dauern. Parametrisieren wir (13.81) so, daß die Ruhelage bei ϕ = 0 durchlaufen
wird, und verwenden wir sie als Koordinatenursprung, dann ist sie die Zykloide
( ) ( )
x(ϕ) ϕ + sin ϕ
= R
. (13.82)
y(ϕ) − cosϕ + 1
Die Weglänge s(ϕ) von ϕ = 0 bis ϕ beträgt
s(ϕ) = R
∫ ϕ
0
√
dϕ (1 + cosϕ) 2 + sin 2 ϕ = R
∫ ϕ
0
dϕ 2 cos ϕ 2 = 4R sin ϕ 2 , (13.83)
denn nach Additionstheorem der Winkelfunktionen gilt 1+cos(ϕ/2+ϕ/2) = 2 cos 2 ϕ/2.
Fassen wir ϕ als die Funktion ϕ(s) der Weglänge |s| ≤ 4R auf, dann ist wegen
die kinetische Energie einfach
E kin = 1 2 m (( dx
dϕ
) 2
+
( dy
dϕ
√
ds (
dϕ = dx ) 2 ( dy ) 2
+ (13.84)
dϕ dϕ
) 2 )(dϕ) 2 1 =
dt 2 m ( ds
dϕ
dϕ) 2 1 =
dt 2 m ( ds) 2
. (13.85)
dt
Die potentielle Energie V(s) = m g R (1−cosϕ) ist wegen 1−cosϕ = 2 sin 2 ϕ/2 = 2( s
4R )2
E pot = 1 2 m ω2 s 2 , ω 2 = g
4 R . (13.86)
Also ist die Energie, ausgedrückt durch die Weglänge und ihre Zeitableitung, die Energie
eines harmonischen Oszillators, der unabhängig von der Auslenkung mit der Kreisfrequenz
ω = √ g/4R schwingt.