Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik
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148 13 Wirkungsprinzip heißt zyklische Variable x 1 zyklisch ⇔ ∂L ∂x = 0 . (13.68) 1 Ist x 1 zyklisch, so ist die Lagrangefunktion invariant unter der infinitesimalen Translation δx 1 = 1, δx j = 0 für j ≠ 1, δv i = 0, und die Noetherladung (13.61) stimmt mit dem zu x 1 kanonisch konjugierten Impuls überein, Q = ∂L . Er ist wegen der Euler-Lagrange- ∂v 1 Gleichungen (13.44) offensichtlich erhalten ∂L ∂x 1 = 0 und ( ∂L ∂x − d ∂L ) 1 t ◦ ∂v 1 ˆfphys = 0 ⇒ d (∂L dt ∂v ◦ ˆf ) 1 phys = 0 . (13.69) Ist die Wirkung invariant unter Drehungen um eine Achse ⃗n (10.8), so ist die zugehörige Noether-Ladung definitionsgemäß der Drehimpuls ⃗n ·⃗L in Richtung dieser Achse. Zur Zeitverschiebung (10.4) gehört gemäß (13.58) die infinitesimale Transformation δx k = v k . (13.70) Dies ist eine infinitesimale Symmetrie der Wirkung, falls die Lagrangefunktion L (t, x, v) nicht von t abhängt, ∂ t L = 0, denn dann gilt δL = δx k ∂ x kL +(d t δx k ) ∂ v kL = v k ∂ x kL +b k ∂ v kL = d t L −∂ t L = d t L , (13.71) also (13.59) mit K = L . Die zur Symmetrie unter Zeitverschiebung gehörige Noether-Ladung (13.61) E = v k ∂ ∂vkL − L (13.72) ist definitionsgemäß die Energie E. Sie ist erhalten, wenn die Lagrangefunktion nicht von der Zeit abhängt. Aus dem Ausdruck für die Energie folgt, wie sich die Lagrangefunktion aus den Anteilen E n der Energie zusammensetzt, die homogen vom Grad n in den Geschwindigkeiten v sind. Der Operator v ∂ v zählt den Homogenitätsgrad ab: v ∂ v v n = n v n . Jeder Term E n in der Energie, der n Faktoren v enthält, n ≠ 1, muß in der Lagrangefunktion mit Vorfaktor 1/(n−1), erscheinen, damit (13.72) E = ∑ n E n lautet. Ein Anteil L 1 = qv i A i (x), der linear in den Geschwindigkeiten ist, trägt nicht zur Energie bei, wohl aber eine magnetische Kraft ˆ∂L 1 = q v ˆ∂x i (∂ j x jA i − ∂ x iA j ) zu den Bewegungsgleichungen L = ∑ n≠1 E n n − 1 + L 1 . (13.73) Besteht die Energie wie bei Newtonscher Bewegung im Potential aus der geschwindigkeitsunabhängigen potentiellen Energie, n = 0, und aus kinetischer Energie, die quadratisch in den Geschwindigkeiten ist, n = 2, so ist ohne solch eine Magnetkraft die Lagrangefunktion die Differenz L Newton (t, x, v) = E kin − E pot . (13.74)
149 Brachistochrone und Tautochrone Die Frage nach der Kurve in einer vertikalen Ebene, auf der ein Teilchen im homogenen Gravitationsfeld schnellstens von einem Startpunkt reibungsfrei zu einem tieferen Zielpunkt gleitet, begründete die Variationsrechnung. Johann Bernoulli hatte 1696 die Mathematiker seiner Zeit mit diesem Problem herausgefordert. Außer ihm lösten sein Bruder Jakob und Leibniz, L’Hospital und Newton die Aufgabe. Mit dem Noether- Theorem können das heute auch Studenten im zweiten Semester. Denn es handelt sich um energieerhaltende Bewegung längs einer Bahn y(x), die im Laufe der Zeit durchlaufen wird, t ↦→ (x(t), y(x(t))). Das Potential ist V(x) = m g y(x) . Wir wählen den Ursprung des Koordinatensystems als Startpunkt und t = 0 als die Startzeit, zu der das Teilchen losgleitet. Dann verschwindet die Energie 0 = 1 2 m ( (v x ) 2 + ( dy) 2 (vx ) 2) + m g y . (13.75) dx Wir lösen nach v x für den Fall auf, daß der Zielort (x, y(x)) bei x > 0 liegt, dann ist v x positiv. Die Ableitung der Umkehrfunktion t(x) ist der Kehrwert von v x und die Zeit, die zu minimieren ist, ist das Integral √ dt dx = 1 + ( dy dx )2 −2g y , (13.76) √ T = √ 1 ∫ x 1 + ( dy dx dx )2 2g 0 −y . (13.77) Um an die bisher verwendete Notation bei Variationsproblemen physikalischer Bahnen anzuschließen, bezeichnen wir die Integrationsvariable mit t und die Funktion y mit −f und minimieren einfachheitshalber das mit √ 2g multiplizierte Funktional, nämlich W[f] = √ ∫ 1 + ( df dt dt )2 f = ∫ dt ( L ◦ ˆf ) (t) . (13.78) Dies ist eine Wirkung mit Lagrangefunktion L(t, x, v) = √ (1 + v 2 )/x. Sie ist im Bereich x > 0 definiert. Die Lagrangefunktion hängt nicht von der Zeit ab, ∂ t L = 0, ist also zeittranslationsinvariant. Die nach dem Noethertheorem zu dieser Lagrangefunktion gehörige Energie v ∂ v L − L = −1/ √ (1 + v 2 ) x (13.79) ist auf der Bahn f, auf der W stationär ist, erhalten. Diese Funktion f erfüllt also mit einer positiven Konstanten R die Gleichung (1 + ( df dt )2 ) f = 2R oder ( df dt )2 − 2R f = −1 . (13.80)
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Brachistochrone <strong>und</strong> Tautochrone<br />
Die Frage nach <strong>der</strong> Kurve in einer vertikalen Ebene, auf <strong>der</strong> ein Teilchen im homogenen<br />
Gravitationsfeld schnellstens von einem Startpunkt reibungsfrei <strong>zu</strong> einem tieferen<br />
Zielpunkt gleitet, begründete die Variationsrechnung. Johann Bernoulli hatte 1696 die<br />
Mathematiker seiner Zeit mit diesem Problem herausgefor<strong>der</strong>t. Außer ihm lösten sein<br />
Bru<strong>der</strong> Jakob <strong>und</strong> Leibniz, L’Hospital <strong>und</strong> Newton die Aufgabe. Mit dem Noether-<br />
Theorem können das heute auch Studenten im zweiten Semester.<br />
Denn es handelt sich um energieerhaltende Bewegung längs einer Bahn y(x), die im<br />
Laufe <strong>der</strong> Zeit durchlaufen wird, t ↦→ (x(t), y(x(t))). Das Potential ist V(x) = m g y(x) .<br />
Wir wählen den Ursprung des Koordinatensystems als Startpunkt <strong>und</strong> t = 0 als die<br />
Startzeit, <strong>zu</strong> <strong>der</strong> das Teilchen losgleitet. Dann verschwindet die Energie<br />
0 = 1 2 m ( (v x ) 2 + ( dy) 2<br />
(vx ) 2) + m g y . (13.75)<br />
dx<br />
Wir lösen nach v x für den Fall auf, daß <strong>der</strong> Zielort (x, y(x)) bei x > 0 liegt, dann ist v x<br />
positiv. Die Ableitung <strong>der</strong> Umkehrfunktion t(x) ist <strong>der</strong> Kehrwert von v x<br />
<strong>und</strong> die Zeit, die <strong>zu</strong> minimieren ist, ist das Integral<br />
√<br />
dt<br />
dx = 1 + ( dy<br />
dx )2<br />
−2g y , (13.76)<br />
√<br />
T = √ 1 ∫ x<br />
1 + ( dy<br />
dx<br />
dx<br />
)2<br />
2g 0 −y<br />
. (13.77)<br />
Um an die bisher verwendete Notation bei Variationsproblemen physikalischer Bahnen<br />
an<strong>zu</strong>schließen, bezeichnen wir die Integrationsvariable mit t <strong>und</strong> die Funktion y mit −f<br />
<strong>und</strong> minimieren einfachheitshalber das mit √ 2g multiplizierte Funktional, nämlich<br />
W[f] =<br />
√<br />
∫<br />
1 + ( df<br />
dt<br />
dt<br />
)2<br />
f<br />
=<br />
∫<br />
dt ( L ◦ ˆf ) (t) . (13.78)<br />
Dies ist eine Wirkung mit Lagrangefunktion L(t, x, v) = √ (1 + v 2 )/x. Sie ist im Bereich<br />
x > 0 definiert. Die Lagrangefunktion hängt nicht von <strong>der</strong> Zeit ab, ∂ t L = 0, ist<br />
also zeittranslationsinvariant. Die nach dem Noethertheorem <strong>zu</strong> dieser Lagrangefunktion<br />
gehörige Energie<br />
v ∂ v L − L = −1/ √ (1 + v 2 ) x (13.79)<br />
ist auf <strong>der</strong> Bahn f, auf <strong>der</strong> W stationär ist, erhalten. Diese Funktion f erfüllt also mit<br />
einer positiven Konstanten R die Gleichung<br />
(1 + ( df<br />
dt )2 ) f = 2R o<strong>der</strong> ( df<br />
dt )2 − 2R f<br />
= −1 . (13.80)
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