Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

148 13 Wirkungsprinzip
heißt zyklische Variable
x 1 zyklisch ⇔ ∂L
∂x = 0 . (13.68)
1
Ist x 1 zyklisch, so ist die Lagrangefunktion invariant unter der infinitesimalen Translation
δx 1 = 1, δx j = 0 für j ≠ 1, δv i = 0, und die Noetherladung (13.61) stimmt mit dem zu
x 1 kanonisch konjugierten Impuls überein, Q = ∂L . Er ist wegen der Euler-Lagrange-
∂v 1
Gleichungen (13.44) offensichtlich erhalten
∂L
∂x 1 = 0 und
( ∂L
∂x − d ∂L ) 1 t ◦
∂v 1 ˆfphys = 0 ⇒ d (∂L
dt ∂v ◦ ˆf
) 1 phys = 0 . (13.69)
Ist die Wirkung invariant unter Drehungen um eine Achse ⃗n (10.8), so ist die zugehörige
Noether-Ladung definitionsgemäß der Drehimpuls ⃗n ·⃗L in Richtung dieser Achse.
Zur Zeitverschiebung (10.4) gehört gemäß (13.58) die infinitesimale Transformation
δx k = v k . (13.70)
Dies ist eine infinitesimale Symmetrie der Wirkung, falls die Lagrangefunktion L (t, x, v)
nicht von t abhängt, ∂ t L = 0, denn dann gilt
δL = δx k ∂ x kL +(d t δx k ) ∂ v kL = v k ∂ x kL +b k ∂ v kL = d t L −∂ t L = d t L , (13.71)
also (13.59) mit K = L .
Die zur Symmetrie unter Zeitverschiebung gehörige Noether-Ladung (13.61)
E = v k ∂
∂vkL − L (13.72)
ist definitionsgemäß die Energie E. Sie ist erhalten, wenn die Lagrangefunktion nicht von
der Zeit abhängt.
Aus dem Ausdruck für die Energie folgt, wie sich die Lagrangefunktion aus den Anteilen
E n der Energie zusammensetzt, die homogen vom Grad n in den Geschwindigkeiten
v sind. Der Operator v ∂ v zählt den Homogenitätsgrad ab: v ∂ v v n = n v n . Jeder Term E n
in der Energie, der n Faktoren v enthält, n ≠ 1, muß in der Lagrangefunktion mit Vorfaktor
1/(n−1), erscheinen, damit (13.72) E = ∑ n E n lautet. Ein Anteil L 1 = qv i A i (x),
der linear in den Geschwindigkeiten ist, trägt nicht zur Energie bei, wohl aber eine magnetische
Kraft ˆ∂L 1
= q v
ˆ∂x i (∂ j x jA i − ∂ x iA j ) zu den Bewegungsgleichungen
L = ∑ n≠1
E n
n − 1 + L 1 . (13.73)
Besteht die Energie wie bei Newtonscher Bewegung im Potential aus der geschwindigkeitsunabhängigen
potentiellen Energie, n = 0, und aus kinetischer Energie, die quadratisch
in den Geschwindigkeiten ist, n = 2, so ist ohne solch eine Magnetkraft die
Lagrangefunktion die Differenz
L Newton (t, x, v) = E kin − E pot . (13.74)