Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Erhaltungsgrößen sind ausschlaggebend für die Frage, ob die Bewegungsgleichungen
integrabel sind, das heißt, ob sich die Lösungen durch Rechenoperationen wie Integrieren
gegebener Funktionen und Auflösen implizit gegebener Funktionen angeben lassen.
Ohne die Herleitung oder auch nur die verwendeten Begriffe zu erklären, sei hier nur
raunend angemerkt: Betreffen die Bewegungsgleichungen N Freiheitsgrade, so sind die
Gleichungen genau dann integrabel, wenn es ebenso viele unabhängige Erhaltungsgrößen
Q 1 , Q 2 . . .Q N gibt, die in Involution sind, das heißt, ihre zugehörigen infinitesimale
Transformationen δ i müssen hintereinander ausgeführt, wie bei Verschiebungen, zu einem
Ergebnis führen, das nicht von der Reihenfolge abhängt, δ i δ j = δ j δ i .
Ändert man integrable Bewegungsgleichungen durch Zusatzterme ab, so führen solche
Störungen integrabler Bewegung, selbst wenn sie klein sind, zu chaotischen Bahnen,
deren Langzeitentwicklung man wegen der nur ungenau bekannten Anfangswerte und
wegen der Rundungsfehler numerisch nicht bestimmen kann. Die chaotischen Bahnen
haben zwar im Raum aller Bahnen nur ein kleines Maß, das heißt, sie sind vergleichsweise
unwahrscheinlich. Aber sie liegen dicht: in jeder Umgebung von stabilen Bahnen gibt es
chaotische Bahnen. Die Herleitung und Diskussion dieser angedeuteten Erkenntnisse füllt
Bücher [2, 3, 8, 15], auf die hier nur verwiesen sei.
Über die Tatsache hinaus, daß Symmetrien der Wirkung mit Erhaltungsgrößen zusammenhängen,
sind Symmetrien wichtig, weil man aus einer Lösung der Bewegungsgleichungen
durch Symmetrietransformationen weitere Lösungen gewinnen kann. Zum
Beispiel erhält man in der Allgemeinen Relativitätstheorie das Gravitationsfeld einer
gleichförmig bewegten Masse aus demjenigen der ruhenden Masse durch eine Lorentztransformation
und kann daraus ohne weiteres schließen, daß die zusätzliche, kinetische
Energie keinen gravitativen Kollaps verursacht.
Transformationen, die Lösungen von Bewegungsgleichungen auf Lösungen abbilden,
sind nicht unbedingt Symmetrien der Wirkung. Zum Beispiel werden die Lösungen f :
t ↦→ f(t) = − 1 2 g t2 + v 0 t + x 0 der Bewegungsgleichung ẍ = −g eines senkrecht fallenden
Teilchens durch T λ f : t ↦→ e 2λ f(e −λ t) auf Lösungen abgebildet, aber die infinitesimale
Transformation δx = 2x − t v läßt die Lagrangefunktion L = 1 2 m v2 − m g x nicht
invariant, δL = d t (−tL ) + 5L + 2m g x ≠ d t K .
Die kinetische Energie E kin = 1 2 m⃗v2 eines nichtrelativistischen Teilchens ist invariant
unter Drehungen und Verschiebungen. Sie hängt nicht davon ab, wo das sich bewegende
Teilchen ist und nicht davon, in welche Richtung es sich bewegt. Besteht die
Lagrangefunktion aus solch einer verschiebungsinvarianten kinetischen Energie und ist
die potentielle Energie in einer Richtung c k konstant V(x k ) = V(x k + λc k ), so ist die
Lagrangefunktion unter dieser Verschiebung invariant, δL = 0 .
Die zur infinitesimalen Verschiebung δx k = c k gehörige Erhaltungsgröße (13.61)
c k∂L
∂v k = ck p k , p k = m v k (13.67)
ist definitionsgemäß der nichtrelativistische Impuls ⃗p in Richtung des Vektors ⃗c. Verschiebungsinvarianz
ist die Ursache von Impulserhaltung.
Eine Variable x 1 , die in der Lagrangefunktion nur mit ihrer Geschwindigkeit v 1 auftritt,