Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

146 13 Wirkungsprinzip
Bei jeder Lagrangefunktion kann man für jede gegebene infinitesimale Transformation
δx i (t, x, v) nach Ausrechnen von δL leicht entscheiden, ob sie eine infinitesimalen Symmetrie
ist. Die Funktion δL der Jetvariablen läßt sich genau dann als Ableitung d t K
schreiben, wenn die Eulerableitung von δL verschwindet (13.57).
Umgekehrt gehört gemäß (10.2) zu jeder Erhaltungsgröße eine infinitesimale Symmetrie
der Wirkung! Denn eine Jetfunktion Q(t, x, v) ist eine Erhaltungsgröße, wenn ihre
Zeitableitung aufgrund der Bewegungsgleichungen verschwindet, also wenn sich ihre Zeitableitung
als Vielfaches der Eulerableitungen ˆ∂L
ˆ∂x
und eventuell von den Ableitungen der
i
Eulerableitungen 4 schreiben läßt
d t Q + R i 0
ˆ∂L
ˆ∂x i + Ri 1 d t
ˆ∂L
ˆ∂x i = 0 . (13.63)
Die Größen R i 0 und R i 1 hängen auf nicht weiter festgelegte Art von den Jetvariablen ab.
Fassen wir die Terme mit der Produktregel zusammen, so ist die Definitionsgleichung
einer Erhaltungsgröße die Definition einer infinitesimalen Symmetrie (13.60)
(
d t Q + R
i
ˆ∂L ) (
1 + R
i
)ˆ∂L
ˆ∂x i 0 − d t R i 1
ˆ∂x = 0 . (13.64)
i
Die Wirkung ist also unter der infinitesimalen Transformation
δx i = R i 0 − d tR i 1 (13.65)
bis auf Randterme invariant. Die Erhaltungsgröße Q stimmt auf physikalischen Bahnen
mit Q überein (13.44)
Q = Q + R i 1
ˆ∂L
ˆ∂x i , Q ◦ ˆf phys = Q ◦ ˆf phys . (13.66)
Der Zusammenhang von Symmetrien und Erhaltungsgrößen (13.60) ist von Emmy
Noether 1918 formuliert worden.
Noethertheorem: Zu jeder infinitesimalen Symmetrie der Wirkung gehört eine Erhaltungsgröße.
Umgekehrt gehört zu jeder Erhaltungsgröße eine infinitesimale Symmetrie
der Wirkung.
Am Noethertheorem ist nichts zu beweisen, man muß nur erkennen, daß die Definition
(13.60) einer infinitesimalen Symmetrie der Wirkung eine Erhaltungsgröße definiert
und daß umgekehrt die Definition einer Erhaltungsgröße eine infinitesimale Symmetrie
definiert. Das Theorem ist deshalb wichtig, weil häufig Symmetrien der Wirkung offensichtlich
sind und als geometrische Eigenschaft einfach durch Ansehen gefunden werden
können.
Anders als bei der Herleitung der Variationsableitung kann man bei infinitesimalen
Transformationen nicht unterstellen, daß sie am Rand verschwinden. So eingeschränkt
definiert, würde nicht zu jeder Erhaltungsgröße eine infinitesimale Symmetrie gehören.
4 Falls höhere Ableitungen von ˆ∂L
ˆ∂x i
auftreten, wälzt man auch sie mit der Produktregel ab.