Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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Die Ableitung der Lagrangefunktion nach λ ist
∂L
(t, λ x, λ v) = xi∂L
∂λ
= x i∂L
∂x i + d t
∂x + vi∂L i ∂v = xi∂L i ∂x + ( d i t x i) ∂L
∂v i
(
x
i ∂L ) ( − x
i ∂L )
d ˆ∂L
∂v i t = x
i
∂v i ˆ∂x + d i t
(
x
i ∂L (13.56)
)
,
∂v i
wobei L bei (t, λ x, λv) abzuleiten ist. Demnach schreibt sich die Lagrangefunktion als
∫ 1
L (t, x, v) = x i dλ ˆ∂L
∫
( 1
+ d t x
i
dλ ∂L ∫ t
+ dt
0
ˆ∂x ′ L (t ′ , 0, 0) ) . (13.57)
i | (t,λ x,λ v) 0 ∂v i | (t,λ x,λ v)
Dies ist die Zeitableitung einer Jetfunktion, falls die Eulerableitung der Lagrangefunktion
als Jetfunktion für alle (t, λ x, λ v) verschwindet.
Symmetrien und Erhaltungsgrößen
Im Kapitel ”
Erhaltungsgrößen und Symmetrien“ (ab Seite 93) haben wir kontinuierliche
Transformationen T λ (mit T λ=0 = id) von Bahnen f : t ↦→ f(t) untersucht. Die Transformationen
heißen lokal, wenn sich die infinitesimale Transformation für alle Bahnen f als
Jetfunktion δx, ausgewertet auf der Verlängerung ˆf, schreiben läßt
∂ λ|λ=0 T λ f = δx ◦ ˆf . (13.58)
Solch eine infinitesimale Transformation ist eine infinitesimale Symmetrie der Wirkung
(13.4), wenn sie die Wirkung nur um Randterme ändert, wenn sich also die zugehörige
Lagrangefunktion nur um eine Zeitableitung einer Jetfunktion K ändert,
Wegen (13.36) ist dies gleichbedeutend mit
∂ λ|λ=0 (L ◦ ˆf λ ) 13.34
= δL ◦ ˆf = (d t K) ◦ ˆf . (13.59)
δx ˆ∂L i
ˆ∂x + d ( i t δx
i ∂L
∂v − K) = 0 . (13.60)
i
Diese Definitionsgleichung dessen, was eine infinitesimale Symmetrie δx ist, verknüpft
sie mit einer zugehörigen Erhaltungsgröße, der Noetherladung Q,
Q = δx i∂L
∂v i − K . (13.61)
Denn die physikalischen Bahnen erfüllen die Bewegungsgleichungen (13.44) und Q ist
daher auf den physikalisch durchlaufenen Bahnen f phys zeitunabhängig,
(d t Q) ◦ ˆf phys = d dt (Q ◦ ˆf phys ) = 0 . (13.62)
Zu jeder infinitesimalen Symmetrie der Wirkung gehört eine Erhaltungsgröße Q .