Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

143
Physikalisch durchlaufene Bahnkurven f phys sind bei Abwesenheit von Reibung und
nichtholonomen 2 Zwangsbedingungen durch das Prinzip der stationären Wirkung ausgezeichnet.
Ihm zufolge ist die lokale Wirkung (13.38, 13.74) auf physikalischen Bahnen
f phys stationär bezüglich aller infinitesimalen Variationen der Bahn, die am Rand verschwinden.
Auf physikalischen Bahnen verschwindet die Eulerableitung der Lagrangefunktion
ˆ∂L
ˆ∂x i ◦ ˆf phys = 0 . (13.44)
Dies sind die Euler-Lagrange-Gleichungen für physikalische Bahnen. Sie sondern die
physikalische Bahn f phys durch f(t) und f(t) unter allen denkbaren Bahnen aus, die
gleichzeitig diese Punkte durchlaufen. 3
Beim harmonischen Oszillator (13.39), beispielsweise, ist die Eulerableitung
( ∂
∂x − d ∂ )(1
t
∂v 2 m v2 − 1 2 κ x2) = −κ x − d t (m v) = −κ x − m b (13.45)
und die Euler-Lagrange-Gleichung −κ f phys − m d2
dt 2 f phys = 0 hat die Lösung
f phys (t) = a cos(ω t + ϕ) , (13.46)
wobei ω = √ κ/m das 2π-fache der Frequenz ist. Die Amplitude a und die Phase ϕ
werden durch den anfänglichen Ort f(0) und die anfängliche Geschwindigkeit ḟ(0) festgelegt.
Die Newtonschen Gleichungen für die Bewegung im Potential V sind die Euler-Lagrangegleichungen
der Lagrangefunktion
L = ∑ j
1
2 m j(v j ) 2 − V(x 1 , . . .,x n ) . (13.47)
Ihre Eulerableitung verschwindet auf physikalischen Bahnen (keine Summe über i)
ˆ∂L
ˆ∂x = ∂L
i ∂x − d ∂L
i t
∂v = −∂ i x iV − d t(m i v i ) = −∂ x iV − m i b i . (13.48)
Die Euler-Lagrange-Gleichungen (13.44) gelten in allen Koordinatensystemen, denn
das Prinzip der stationären Wirkung macht nicht Gebrauch von der Wahl von Koordinaten
zur Beschreibung der Bahn. Fassen wir die Koordinaten x als Funktionen x(t, y)
2 Zwangsbedingungen an Geschwindigkeiten und Orte, die sich nicht als Zeitableitung von Zwangsbedingungen
an Orte schreiben lassen, heißen nichtholonom. Beispielsweise ist beim Schlittschuhläufer
die Bedingung nichtholonom, daß die Geschwindigkeit stets in Richtung der Kufe zeigt.
3 Ob durch festgelegte Randpunkte eine Kurve geht, die die Wirkung stationär macht, bedarf genauerer
Untersuchung des Einzelfalls. Beim harmonischen Oszillator existiert keine physikalische Bahn, die
zu den Zeiten t und t + 2π ω
durch verschiedene Punkte geht. Beim relativistischen Teilchen müssen
die Ereignisse zu Beginn und Ende der Weltlinie zeitartig zueinander liegen.