Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

140 13 Wirkungsprinzip
Eine Kurvenschar f λ ist eine Kurve im Raum der Kurven. Für jeden Wert des Scharparameters
λ, der in einem Intervall um λ = 0 variieren möge, ist f λ eine Kurve
f λ : t ↦→ f(t, λ) = (f 1 (t, λ), f 2 (t, λ), . . .f n (t, λ)) . (13.27)
Wir unterstellen, daß die Komponentenfunktionen f i stetig differenzierbar von beiden
Variablen t und λ abhängen.
Die Ableitung von f nach λ bei λ = 0 nennen wir die Änderung oder Variation δf,
δf i (t) = ∂ ∂λ| λ=0
f i (t, λ) . (13.28)
Entsprechend nennen wir die Ableitung der Geschwindigkeit df λ
dt
Änderung δ df
dt
δ dfi
dt (t) = ∂ ∂
∂λ| λ=0 ∂t fi (t, λ) = ∂ ∂t
∂
nach λ bei λ = 0 die
∂λ| λ=0
f i (t, λ) = d dt δfi (t) . (13.29)
Hier haben wir verwendet, daß man die Reihenfolge partieller Ableitungen vertauschen
kann. Entsprechend gilt für die höheren Ableitungen
δ ( d k f i ) ∂ ( ∂ ) kf (t) = i (t, λ) = ( ∂ ) k ∂
f i (t, λ) = ( d ) kδf i (t) . (13.30)
dt k ∂λ| λ=0 ∂t ∂t ∂λ| λ=0 dt
Die Kettenregel besagt für die Änderung einer Jetfunktion L längs der Kurvenschar
∂
(L ◦ ˆf λ ) = ∂ L ( t, f(t, λ), ∂ f(t, λ), . . .)
∂λ| λ=0 ∂λ| λ=0 ∂t
= ∂fi ∂L
∂λ | λ=0 ∂x ◦ ˆf i 0 + ( ∂ ∂f i )∂L
∂λ| λ=0 ∂t ∂v ◦ ˆf i 0 + . . .
= δf i∂L
∂x ◦ ˆf i 0 + ( d
dt δfi) ∂L
∂v ◦ ˆf i 0 + . . .
= ∑ k
( d k
dt kδfi) ∂L
∂x i (k)
◦ ˆf 0 .
(13.31)
Die Änderung von L hängt ab von der Kurve f 0 , die für λ = 0 durchlaufen wird, und
von der Änderung δf.
Betrachten wir den Fall, daß durch jede Kurve f eine Kurvenschar gehe. Falls δf
unabhängig von f überall dieselbe Funktion h des Bahnparameters t ist, dann ist δf eine
Jetfunktion h, die von t abhängt und als Funktion beispielsweise der Jetvariablen x und
v konstant ist. Werten wir h(t, x, v) auf ˆf aus, so erhalten wir h(t, f(t), dh/dt(t)) = h(t),
weil h als Funktion von x und v konstant ist. Ebenso sind bei den infinitesimalen lokalen
Transformationen (10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15) die Änderungen δf Jetfunktionen,
die auf der Verlängerung ˆf ausgewertet werden.
Wir nennen diese Jetfunktionen, die auf ˆf ausgewertet δf ergeben, δx
δf = δx ◦ ˆf . (13.32)