Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

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mit stetigen Funktionen ˜g m (s) und g m (s), dann verschwindet das Funktional
M[δf] =
∫ s
dsδf m (s) (˜g m − g m )(s) (13.21)
s
für alle δf m , also verschwinden die stetigen Funktionen ˜g m − g m .
Ist f : s → f(s) die Weltlinie von A nach B, auf der am meisten Zeit vergeht, so muß
für diese Weltlinie die Ableitung von τ[f λ ] nach λ bei λ = 0 für alle Kurvenscharen f λ
verschwinden. Das ist genau dann der Fall, wenn die Variationsableitung der Eigenzeit
τ bei f verschwindet,
− d √
df
(η n
mn ( df
−1
)
ds ds ds )2 = 0 . (13.22)
Folglich ist auf dieser Weltlinie die Richtung des Tangentialvektors konstant,
df n
√ ds
( df
ds )2 = u n . (13.23)
Da sich bei Reparametrisierung jeder Weltlinie die Länge des Tangentialvektors, nicht
aber die Eigenzeit ändert (13.7), legt die Bedingung, daß die Weltlinie von längster Dauer
sei, nicht die Länge des Tangentialvektors fest.
Wählt man die Parametrisierung so, daß der Tangentialvektor konstante Länge 1 hat
( df
) 2
= 1 , (13.24)
ds
dann stimmt der Bahnparameter s bis auf Wahl des Nullpunktes mit der Uhrzeit τ auf
der Weltlinie überein und Gleichung (13.22) besagt, daß die Beschleunigung d2 f
längs
ds 2
der Bahn verschwindet,
d 2 f
ds = 0 (13.25)
2
und daß die Weltlinie extremaler Dauer durch
f : s ↦→ √ s ( 1
+ f(0) (13.26)
1 −⃗v
2 ⃗v)
gegeben ist. ⃗v und f(0) werden durch Anfangs- oder Randbedingungen festgelegt.
Bei vorgegebenen Anfangs- und Endpunkten ist die Gerade in der Raumzeit R 4 eindeutig
festgelegt. Auf ihr ist die Zeit nicht nur stationär, sondern maximal, denn sie ist
größer als auf jeder Weltlinie von A nach B mit einem Knick.
Änderung von Jetfunktionen
Betrachten wir, wie sich eine Jetfunktion L , ausgewertet auf der Verlängerung einer
Schar von Kurven ˆf λ mit dem Scharparameter λ ändert.