Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

138 13 Wirkungsprinzip
der Änderungen dx i der Argumente ist, nur daß die Änderung der Eigenzeit τ nicht
mehr eine diskrete Summe, sondern ein Integral über δf ist,
∫ s
δτ = dsδf m δτ
(s)
s δf m (s) . (13.15)
So wie man die Koeffizienten ∂f in df die partiellen Ableitungen der Funktion f nennt,
∂x i
nennen wir die Koeffizientenfunktionen bei δf in δτ die Variationsableitung von τ nach f.
Wie (13.14) zeigt, ist die Variationsableitung der Eigenzeit eine Funktion von Ableitungen
von f
δτ
δf m (s) = − d df
(η n
mn
ds ds
√
( df
ds )2 −1
)
=
(− ( η mn v n )
d s √ ◦ ˆf)
(s) . (13.16)
v
2
Hierbei ist d s analog zu d t (7.6) definiert, der Kurvenparameter heißt ja s statt t .
Ist die Variationsableitung eines Funktionals W eine stetige Funktion des Integrationsparameters,
so ist sie auch eindeutig. Das ergibt sich aus dem
Fundamentallemma der Variationsrechnung: Falls ein Funktional
∫ s
M[h] : h ↦→ dsh(s) m(s) (13.17)
s
für alle beliebig oft differenzierbaren Funktionen h verschwindet, die bei s und s Null
sind, 1 und falls m eine stetige Funktion ist, dann verschwindet m im Intervall [s, s].
Wäre nämlich die Funktion m in einem Punkt ŝ nicht Null, so wäre sie in einer Umgebung
U = [ŝ − ǫ, ŝ + ǫ] nicht Null. Die Funktion k(s) = g(s − ŝ + ǫ) g(−s + ŝ + ǫ) mit
g(x) = Θ(x) exp(−1/x 2 ), wobei Θ die Stufenfunktion (2.5) ist, ist beliebig oft differenzierbar,
verschwindet außerhalb U und ist im Inneren von U positiv. Dann wäre nach
Mittelwertsatz (12.8) das Integral
∫ s ∫ŝ+ǫ
M[k] = dsk(s) m(s) = dsk(s) m(s) (13.18)
s
ŝ−ǫ
nicht Null im Widerspruch zur Voraussetzung, daß M[k] verschwindet.
Ebenso verschwinden alle stetigen Funktionen m i bei einem Funktional
∫ s
M[h 1 , h 2 . . .h n ] = dsh i (s) m i (s) (13.19)
s
mehrerer Funktionen h i , wenn das Funktional für alle beliebig differenzierbaren h i verschwindet,
denn dann verschwinden alle Funktionale M i [h] = ∫ s
dsh(s) m s i(s) .
Daraus folgt die Eindeutigkeit der Variationsableitung, falls sie eine stetige Funktion
ist, denn sei für alle beliebig oft differenzierbaren δf m (s)
∫ s ∫ s
δτ = dsδf m (s) ˜g m (s) = dsδf m (s) g m (s) (13.20)
s
s
1 Die Bedingungen an h schwächen die Voraussetzungen ab, aus denen m = 0 folgt.