Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik

136 13 Wirkungsprinzip
Die Jetfunktion, die zu einem lokalen Funktional gehört, nennt man seine Lagrangefunktion.
Die Lagrangefunktion der Eigenzeit bildet Punkte (s, x, v) des Bereiches
(v 0 ) 2 − (v 1 ) 2 − (v 2 ) 2 − (v 3 ) 2 > 0 des Jetraumes J 1 ab auf
L Zeit (s, x, v) = √ v m v n η mn = √ (v 0 ) 2 − (v 1 ) 2 − (v 2 ) 2 − (v 3 ) 2 . (13.5)
Zeit ist additiv. Falls C ein Ereignis zwischen A und B auf der Weltlinie f ist und
falls f 1 und f 2 die Teilstücke von und zu C bezeichnen, dann gilt in einer suggestiven
Notation
∫ ∫ ∫
∆τ = ∆τ + ∆τ . (13.6)
f 1 +f 2 f 1 f 2
Auf geraden Weltlinien stimmt τ 2 überein mit dem Längenquadrat (1.66) des Differenzvektors
w BA = f(s) − f(s) von A nach B.
Die Zeit τ[f] ist unabhängig von der Parametrisierung der Weltlinie. Jede andere Parametrisierung
der Weltlinie f mit monoton wachsendem f 0 ist durch f ′ (s ′ ) = f(s(s ′ ))
mit monoton wachsendem s(s ′ ) gegeben, also ist ds > 0. Nach der Kettenregel gilt
df ′
= ds df
ds ′ ds ′ ds
, und mit dem Integralsubstitutionssatz folgt die Behauptung:
∫s ′
s ′ ds ′ √ (df ′
) 2
∫s ′
=
ds ′
s ′ ds ′ ds
ds ′ √ (df
ds
ds ′
) 2
s∫ √ (df ) 2
= ds . (13.7)
ds
Parametrisiert man eine zeitartige Weltlinie durch die Zeit t, die ein Beobachter den
Ereignissen zuschreibt, dann ist die Weltlinie durch f : t ↦→ (t, f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) gegeben
und der Vierertangentialvektor hat die Komponenten (1, df1,
df2,
df3 ) und das Längenquadrat
(1−⃗v 2) ◦ˆf. Auf der Weltlinie f vergeht auf einer mitgeführten Uhr zwischen f(t)
dt dt dt
und f(t) die Zeit
∫ t
τ[f] = dt √ 1 −⃗v 2 ◦ ˆf . (13.8)
t
Wählt man für eine Weltlinie f als Bahnparameter s die Zeit, die eine mitgeführte
Uhr bei f(s) anzeigt, so ist diese Zeit der Wert des Funktionals τ, das sich bis zur oberen
Integrationsgrenze s erstreckt, also eine Funktion von s. Die Ableitung dieser Funktion
τ(s) = s hat den Wert 1, andererseits ist die Ableitung von τ nach der oberen Integrationsgrenze
der Integrand, die Wurzel aus dem Längenquadrat des Tangentialvektors,
√ ( df) 2
= 1 . (13.9)
ds
Parametrisiert man also eine Weltlinie mit seiner Eigenzeit, so hat der Tangentialvektor
Einheitslänge. Das gilt auch umgekehrt. Hat der Tangentialvektor überall Einheitslänge,
( df
ds) 2
= 1, dann stimmt der Bahnparameter s bis auf die Wahl des Zeitnullpunktes mit
der Zeit τ(s) überein, die auf einer mitgeführten Uhr bis f(s) vergeht
s
(df) 2
= 1 ⇔ τ[f] = s − s . (13.10)
ds