Stichworte und Ergänzungen zu Mathematische Methoden der Physik
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134 12 Integration Die Tangentialvektoren längs der Parameterlinien und ihre Skalarprodukte sind ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⃗t 1 = ∂⃗x cosθ cosϕ ∂θ = r⃗e θ = r ⎝cosθ sin ϕ⎠ , ⃗t 2 = ∂⃗x − sin ϕ ∂ϕ = r sin θ⃗e ϕ = r sin θ ⎝ cosϕ ⎠ , − sin θ 0 (12.111) √ ⃗t 1 ·⃗t 1 = r 2 , ⃗t 1 ·⃗t 2 =⃗t 2 ·⃗t 1 = 0 , ⃗t 2 ·⃗t 2 = r 2 sin 2 θ , det g.. = r 2 sin θ . (12.112) Integrieren wir über den Parameterbereich 0 ≤ θ ≤ π und 0 ≤ ϕ ≤ 2π , so erhalten wir die Größe der zweidimensionalen Kugelfläche S 2 in drei Dimensionen ∫ π 0 dθ ∫ 2π 0 dϕ r 2 sin θ = 2π r 2 (− cosθ) ∣ ∣ θ=π θ=0 = 4π r2 . (12.113) Kugelfläche in n Dimensionen Der Wert des n-dimensionalen Integrals ∫ d n x e −∑ i (xi ) 2 = ∫dx 1 e −(x1 ) 2 ∫ dx 2 e −(x2 ) 2 . . . ∫ dx n e −(xn ) 2 = (√ π ) n (12.114) ist einfach die n-te Potenz des eindimensionalen Integrals (12.85). In Kugelkoordinaten r, θ 1 . . .θ n−1 , r = √ x i x i , kann man das Integral auswerten, ohne wissen zu müssen, wie die kartesischen Koordinaten x i = r n i (θ 1 . . .θ n−1 ), von den Winkeln (θ 1 . . .θ n−1 ) abhängen. Es reicht zu wissen, daß für n ≥ 2 die Determinante der Jacobimatrix in einen Faktor r n−1 und eine Funktion der Winkel zerfällt, denn jede bis auf eine Spalte der Jacobimatrix ist linear in r. Da e − ∑ i (xi ) 2 = e −r2 als Funktion der Winkel konstant ist, ist ihr n-dimensionales Integral durch ein r-Integral gegeben mal dem Integral über die Determinante der Jacobimatrix über die Winkel. Dieser Faktor ist aber die Flächengröße der n − 1-dimensionalen Sphäre S n−1 in n-Dimensionen. ∫ d n x e − ∑ i (xi ) 2 = vol(S n−1 ) dr r n−1 e −r2 (12.115) Substituieren wir hier t(r) = r 2 , dt = 2r dr, setzen den Wert (12.114) auf der linken Seite ein, (√ ) n= π vol(S n−1 ) 1 ∫ ∞ dt t n 2 −1 e −t , (12.116) 2 0 und vergleichen wir mit der Definition der Γ-Funktion (12.22), so erhalten wir für die Flächengröße der Einheitskugel in n ≥ 2 Dimensionen ∫ ∞ 0 vol(S n−1 ) = 2 (√ π ) n Γ( n 2 ) . (12.117) Insbesondere hat der Einheitskreis S 1 die Länge 2π und die Einheitskugel S 2 in n = 3 Dimensionen die Oberfläche 4π. Das legt mit (12.23) den Wert von Γ( 1 2 ) fest 4π = 2 (√ π ) 3 Γ( 3 2 ) = 2 (√ π ) 3 1 2 Γ(1 2 ) , Γ( 1 2 ) = √ π . (12.118)
13 Wirkungsprinzip Ideale Uhren Die Zeit, die auf einer Uhr zwischen zwei Ereignissen A und B vergeht, hängt wie eine Weglänge nicht nur von den beiden Ereignissen, sondern von der Weltlinie f : s ↦→ f(s) = (f 0 (s), f 1 (s), f 2 (s), f 3 (s)) , f(s) = A , f(s) = B , (13.1) ab, die die Uhr dazwischen durchläuft. Zur Unterscheidung von den Punkten x = (t,⃗x) der Raumzeit benennen wir Weltlinien mit einem anderen Buchstaben f, statt die weitverbreitete Notation x(s) zu verwenden, die ja genau genommen für den Wert der Funktion x beim Argument s steht. Auf der Weltlinie sei die Koordinatenzeit f 0 eine monoton wachsende Funktion des Bahnparameters s. Dann werden die Ereignisse auf der Weltlinie als Funktion des Bahnparameters s genau einmal und kausal geordnet durchlaufen. Zwischen benachbarten Ereignissen mit Differenzvektor df = ds( df0, df1, df2, df3) vergeht auf jeder gleichförmig bewegten Uhr die Zeit ds ds ds ds (1.66) ∆τ = ds √ η mn df m ds √ df n ( ds = ds df 0 ) 2 (df 1 ) 2 (df 2 ) 2 (df 3 ) 2 − − − . (13.2) ds ds ds ds Ist die Weltlinie nicht gerade, sondern beschleunigt, so nähern wir sie wie in Abbildung 12.2 durch einen Streckenzug mit Zwischenstellen, die die Weltlinie feiner und feiner zerlegen. Die Zeit, die auf einer idealen Uhr vergeht, ist der Grenzwert der Zeiten, die auf diesen Streckenzügen vergehen. Zeit: Auf einer zeitartigen Weltlinie f : s ↦→ f(s) zeigt eine ideale Uhr zwischen dem Ereignis A = f(s) und dem späteren Ereignis B = f(s) die Zeit τ[f] an. ∫ τ[f] = ∆τ = f s∫ √ df ds η m mn ds s df n ds (13.3) Die Zeit ist ein Funktional τ : f ↦→ τ[f], das Weltlinien f, also Komponentenfunktionen eines reellen Parameters, in die reellen Zahlen abbildet. Genauer gesagt ist τ ein lokales Funktional W der Weltlinie f, das heißt, sie ist ein Integral über den Parameterbereich der Weltlinie, wobei der Integrand eine Jetfunktion L ist, die auf der Weltlinie f ausgewertet wird, s∫ W : f ↦→ W[f] = ds ( L ◦ ˆf ) s∫ (s) = s s dsL (s, f(s), df (s), . . .) . (13.4) ds
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13 Wirkungsprinzip<br />
Ideale Uhren<br />
Die Zeit, die auf einer Uhr zwischen zwei Ereignissen A <strong>und</strong> B vergeht, hängt wie eine<br />
Weglänge nicht nur von den beiden Ereignissen, son<strong>der</strong>n von <strong>der</strong> Weltlinie<br />
f : s ↦→ f(s) = (f 0 (s), f 1 (s), f 2 (s), f 3 (s)) , f(s) = A , f(s) = B , (13.1)<br />
ab, die die Uhr dazwischen durchläuft.<br />
Zur Unterscheidung von den Punkten x = (t,⃗x) <strong>der</strong> Raumzeit benennen wir Weltlinien<br />
mit einem an<strong>der</strong>en Buchstaben f, statt die weitverbreitete Notation x(s) <strong>zu</strong> verwenden,<br />
die ja genau genommen für den Wert <strong>der</strong> Funktion x beim Argument s steht.<br />
Auf <strong>der</strong> Weltlinie sei die Koordinatenzeit f 0 eine monoton wachsende Funktion des<br />
Bahnparameters s. Dann werden die Ereignisse auf <strong>der</strong> Weltlinie als Funktion des Bahnparameters<br />
s genau einmal <strong>und</strong> kausal geordnet durchlaufen.<br />
Zwischen benachbarten Ereignissen mit Differenzvektor df = ds( df0,<br />
df1,<br />
df2,<br />
df3)<br />
vergeht<br />
auf je<strong>der</strong> gleichförmig bewegten Uhr die Zeit<br />
ds ds ds ds<br />
(1.66)<br />
∆τ = ds<br />
√<br />
η mn<br />
df m<br />
ds<br />
√<br />
df n (<br />
ds = ds df 0 ) 2 (df 1 ) 2 (df 2 ) 2 (df 3 ) 2<br />
− − − . (13.2)<br />
ds ds ds ds<br />
Ist die Weltlinie nicht gerade, son<strong>der</strong>n beschleunigt, so nähern wir sie wie in Abbildung<br />
12.2 durch einen Strecken<strong>zu</strong>g mit Zwischenstellen, die die Weltlinie feiner <strong>und</strong> feiner<br />
zerlegen. Die Zeit, die auf einer idealen Uhr vergeht, ist <strong>der</strong> Grenzwert <strong>der</strong> Zeiten, die<br />
auf diesen Streckenzügen vergehen.<br />
Zeit: Auf einer zeitartigen Weltlinie f : s ↦→ f(s) zeigt eine ideale Uhr zwischen dem<br />
Ereignis A = f(s) <strong>und</strong> dem späteren Ereignis B = f(s) die Zeit τ[f] an.<br />
∫<br />
τ[f] = ∆τ =<br />
f<br />
s∫ √<br />
df<br />
ds η m<br />
mn<br />
ds<br />
s<br />
df n<br />
ds<br />
(13.3)<br />
Die Zeit ist ein Funktional τ : f ↦→ τ[f], das Weltlinien f, also Komponentenfunktionen<br />
eines reellen Parameters, in die reellen Zahlen abbildet. Genauer gesagt ist τ ein lokales<br />
Funktional W <strong>der</strong> Weltlinie f, das heißt, sie ist ein Integral über den Parameterbereich <strong>der</strong><br />
Weltlinie, wobei <strong>der</strong> Integrand eine Jetfunktion L ist, die auf <strong>der</strong> Weltlinie f ausgewertet<br />
wird,<br />
s∫<br />
W : f ↦→ W[f] = ds ( L ◦ ˆf ) s∫<br />
(s) =<br />
s<br />
s<br />
dsL (s, f(s), df (s), . . .) . (13.4)<br />
ds
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